Kita dapat menggunakan rumus de Moivre untuk menghitung nilai dari kosinus pada sudut yang merupakan kelipatan dari [tex]$\frac{\pi}{4}$[/tex]. Rumus tersebut adalah:
[tex](\cos{\frac{\pi}{4}} + i \sin{\frac{\pi}{4}})^n = \cos{n\frac{\pi}{4}} + i \sin{n\frac{\pi}{4}}[/tex]
Dengan menggunakan rumus tersebut, kita dapat menghitung nilai dari [tex]$\cos^4 \frac{\pi}{8}$[/tex], [tex]$\cos^4 \frac{3\pi}{8}$[/tex], [tex]$\cos^4 \frac{5\pi}{8}$[/tex], dan [tex]$\cos^4 \frac{7\pi}{8}$[/tex] dengan menggunakan nilai dari [tex]$\cos^4 \frac{\pi}{4}$[/tex], yaitu:
Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan persoalan ini. Penyelesaian di bawah ini menggunakan identitas trigonometri dan sifat fungsi kuadrat yang cukup mendasar.
Jawab:
Kita dapat menggunakan rumus de Moivre untuk menghitung nilai dari kosinus pada sudut yang merupakan kelipatan dari [tex]$\frac{\pi}{4}$[/tex]. Rumus tersebut adalah:
[tex](\cos{\frac{\pi}{4}} + i \sin{\frac{\pi}{4}})^n = \cos{n\frac{\pi}{4}} + i \sin{n\frac{\pi}{4}}[/tex]
Dengan menggunakan rumus tersebut, kita dapat menghitung nilai dari [tex]$\cos^4 \frac{\pi}{8}$[/tex], [tex]$\cos^4 \frac{3\pi}{8}$[/tex], [tex]$\cos^4 \frac{5\pi}{8}$[/tex], dan [tex]$\cos^4 \frac{7\pi}{8}$[/tex] dengan menggunakan nilai dari [tex]$\cos^4 \frac{\pi}{4}$[/tex], yaitu:
[tex]\\$\cos^4 \frac{\pi}{8} = (\cos^2 \frac{\pi}{4})^2 = \frac{1}{2}$\\$\cos^4 \frac{3\pi}{8} = (\cos^2 \frac{3\pi}{4})^2 = \frac{1}{2}$\\$\cos^4 \frac{5\pi}{8} = (\cos^2 \frac{5\pi}{4})^2 = \frac{1}{2}$\\$\cos^4 \frac{7\pi}{8} = (\cos^2 \frac{7\pi}{4})^2 = \frac{1}{2}$[/tex]
Jadi, nilai dari [tex]$\cos^4 \frac{\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{5\pi}{8} + \cos^4 \frac{7\pi}{8}$[/tex] adalah [tex]\\\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \boxed{2}$.[/tex]
Verified answer
[tex]\begin{aligned}&\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{5\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{7\pi}{8}\right)\\&=\boxed{\vphantom{\bigg|}\,\bf\frac{3}{2}\,}\end{aligned}[/tex]
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Trigonometri
Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan persoalan ini. Penyelesaian di bawah ini menggunakan identitas trigonometri dan sifat fungsi kuadrat yang cukup mendasar.
[tex]\begin{aligned}&\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{5\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{7\pi}{8}\right)\\&{=\ }\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{8}\right)\\&\quad\rightarrow \cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin(x)\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&{=\ }\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\left[-\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\right]^4+\left[-\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{8}\right)\right]^4\\&{=\ }\sin^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\sin^4\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\cos^4\left(\frac{3\pi}{8}\right)\\&\quad\rightarrow a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2(ab)^2\\\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&{=\ }\left[\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right)\right]^2-2\left[\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\right]^2\\&\quad+\left[\sin^2\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right)\right]^2-2\left[\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\right]^2\\&\quad\rightarrow \sin^2(x)+\cos^2(x)=1\\&\quad\rightarrow 2[\sin(x)\cos(x)]^2=\frac{1}{2}\sin^2(2x)\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&{=\ }1-\frac{1}{2}\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)+1-\frac{1}{2}\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}\right)\\&{=\ }2-\frac{1}{2}\left[\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right]\\&{=\ }2-\frac{1}{2}\left[\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right]\\&\quad\rightarrow \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&{=\ }2-\frac{1}{2}\left[\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]\\&{=\ }2-\frac{1}{2}\left[1\right]\\&{=\ }\boxed{\vphantom{\bigg|}\,\bf\frac{3}{2}\,}\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]