Question

Tentukan nilai dari [tex]\displaystyle \tan^2 20^\circ+\tan^2 40^\circ+\tan^2 80^\circ[/tex]

Answer 1

tan²(20°) + tan²(40°) + tan²(80°) = 33
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita akan mencari nilai dari tan²(20°) + tan²(40°) + tan²(80°).

Kita dapat memperhatikan bahwa:

• untuk θ = 20°, maka tan²(3θ) = tan²(60°) = (√3)² = 3,
• untuk θ = 40°, maka tan²(3θ) = tan²(120°) = (–√3)² = 3, dan
• untuk θ = 80°, maka tan²(3θ) = tan²(240°) = (√3)² = 3.

Sedangkan untuk tan(3θ):

[tex]\begin{aligned}\tan(3\theta)&=\tan(2\theta+\theta)\\&=\frac{\tan(2\theta)+\tan(\theta)}{1-\tan(2\theta)\tan(\theta)}\\&=\frac{\dfrac{2\tan(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}+\tan(\theta)}{1-\dfrac{2\tan^2(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}}\\&=\frac{\dfrac{2\tan(\theta)+\tan(\theta)-\tan^3(\theta)}{\cancel{1-\tan^2(\theta)}}}{\dfrac{1-\tan^2(\theta)-2\tan^2(\theta)}{\cancel{1-\tan^2(\theta)}}}\\&=\frac{2\tan(\theta)+\tan(\theta)-\tan^3(\theta)}{1-\tan^2(\theta)-2\tan^2(\theta)}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}\tan(3\theta)&=\frac{3\tan(\theta)-\tan^3(\theta)}{1-3\tan^2(\theta)}\\\end{aligned}[/tex]

Karena tan²(3θ) = 3 untuk setiap θ ∈ {20°, 40°, 80°}:

[tex]\begin{aligned}&\tan^2(3\theta)=\left[\frac{3\tan(\theta)-\tan^3(\theta)}{1-3\tan^2(\theta)}\right]^2\\&{\Rightarrow\ }3=\frac{\left[3\tan(\theta)-\tan^3(\theta)\right]^2}{\left[1-3\tan^2(\theta)\right]^2}\\&{\Rightarrow\ }\left[3\tan(\theta)-\tan^3(\theta)\right]^2=3\left[1-3\tan^2(\theta)\right]^2\\&{\Rightarrow\ }9\tan^2(\theta)+\tan^6(\theta)-6\tan^4(\theta)=3+27\tan^4(\theta)-18\tan^2(\theta)\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }\tan^6(\theta)-(6-27)\tan^4(\theta)+(9+18)\tan^2(\theta)-3=0\\&{\Rightarrow\ }\tan^6(\theta)-33\tan^4(\theta)+27\tan^2(\theta)-3=0\\&{\sf Ambil\ }x=\tan(\theta).\\&{\Rightarrow\ }x^6-33x^4+27x^2-3=0\end{aligned}[/tex]

Polinomial berderajat 6 tersebut memiliki 6 buah akar, dan kita sudah tahu 3 buah akarnya, yaitu x ∈ {tan(20°), tan(40°), tan(80°)}. Karena pada polinomial tersebut x berpangkat genap (6, 4, dan 2), dan kita juga tahu bahwa x² = (–x)², maka 3 buah akar lainnya adalah x ∈ {–tan(20°), –tan(40°), –tan(80°)}, sehingga benar bahwa jumlah akar-akarnya sama dengan 0 sesuai dengan koefisien [tex]x^5[/tex].

Sehingga, kuadrat dari jumlah akar-akar polinomial berderajat 6 tersebut adalah:

[tex]\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{6}x_i\right)^2=0^2=0[/tex]

Jumlah dari kuadrat akar-akarnya adalah:
tan²(20°) + [–tan(20°)]² + tan²(40°) + [–tan(40°)]² + tan²(80°) + [–tan(80°)]²
= 2tan²(20°) + 2tan²(40°) + 2tan²(80°)
= 2[tan²(20°) + tan²(40°) + tan²(80°)]

Hal ini dapat dinyatakan dengan:

[tex]\begin{aligned}\sum^6_{i=1}{x_i}^2=2\left[\tan^2(20^\circ)+\tan^2(40^\circ)+\tan^2(80^\circ)\right]\\\end{aligned}[/tex]

Kemudian, untuk polinomial berderajat 6 [tex]ax^6 + bx^5 + cx^4+dx^3+ex^2+fx+g=0[/tex]:

[tex]\begin{aligned}&x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_1x_5+x_1x_6\\&+x_2x_3+x_2x_4+x_2x_5+x_2x_6\\&+x_3x_4+x_3x_5+x_3x_6\\&+x_4x_5+x_4x_6\\&+x_5x_6\\&=\sum^6_{i=1,\,j=2,\,i < j}x_ix_j\\&=\frac{c}{a}\end{aligned}[/tex]

Sehingga:

[tex]\begin{aligned}\sum^6_{i=1,\,j=2,\,i < j}x_ix_j=-33\end{aligned}[/tex]

Dengan menjabarkan, kita juga dapat memperoleh:

[tex]\begin{aligned}&\left(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6\right)^2\\&{=\ }{x_1}^2+{x_2}^2+{x_4}^2+{x_4}^2+{x_5}^2+{x_6}^2\\&\quad+\ 2\left(\begin{matrix}x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_1x_5+x_1x_6\\+x_2x_3+x_2x_4+x_2x_5+x_2x_6\\+x_3x_4+x_3x_5+x_3x_6\\+x_4x_5+x_4x_6\\+x_5x_6\\\end{matrix}\right)\end{aligned}[/tex]

Persamaan tersebut dapat dinyatakan dengan:

[tex]\begin{aligned}&\left(\sum_{i=1}^{6}x_i\right)^2=\sum^6_{i=1}{x_i}^2\ +2\left(\sum^6_{i=1,\,j=2,\,i < j}x_ix_j\right)\\&\Rightarrow \sum^6_{i=1}{x_i}^2=\left(\sum_{i=1}^{6}x_i\right)^2\ -2\left(\sum^6_{i=1,\,j=2,\,i < j}x_ix_j\right)\\\end{aligned}[/tex]

Oleh karena itu,

[tex]\begin{aligned}&\sum^6_{i=1}{x_i}^2=0\ -2\left(\sum^6_{i=1,\,j=2,\,i < j}x_ix_j\right)\\&\Rightarrow\sum^6_{i=1}{x_i}^2=-2\left(\sum^6_{i=1,\,j=2,\,i < j}x_ix_j\right)\\\end{aligned}[/tex]

Dari yang telah kita peroleh di atas:
2[tan²(20°) + tan²(40°) + tan²(80°)] = –2 · (–33)
⇒ 2[tan²(20°) + tan²(40°) + tan²(80°)] = 2  ·  33

∴  tan²(20°) + tan²(40°) + tan²(80°) = 33
[tex]\blacksquare[/tex]