Question

oblicz pochodną, proszę o dokładne krok po kroku, mam rozwiązanie ale potrzebuje wiedzieć jak to się stało :)))))[tex](\sqrt\frac{x+5}{x-5})'[/tex]

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Przydatne wzory

f(x) = x^n  to  f'(x) = nx^(n - 1),  f(x) = cx^n  to  f'(x) = c * nx^(n - 1), c - stała

(c)' = 0, to (x)' = 1,  (x²)' = 2x,  (x³)' = 3x², ..., ...,

to  

y = √u  to  wyciągamy  u  z pod znaku pierwiastka:  √u = u^1/2)

y' = dy/du = (√u)' = [u^(1/2)]' = (1/2)u^{1 - 1/2} = (1/2)u^{-1/2} =

= (1/2)(1/u)^{1/2} =  (1/2)(1/√u) =   1/(2√u)

Pochodna ilorazu (zapis skrótowy):   (u/v)' = (u'v - uv')/v²

y = [√(x + 5)/(x - 5)],     (x + 5)/(x - 5) > 0

[bo  √ parzystego stopnia z liczby ujemnej nie istnieje]

to   (x + 5) > 0  i  (x - 5) > 0   to    x > - 5  i   x > 5    to   x > 5

lub

(x + 5) < 0   i   x - 5) < 0  x < - 5   i   x < 5   to    x < - 5     to

Dziedzina:  Df:  x ∈ {(− ∞,  − 5) ∪ (5,  + ∞)}   [dziedzinę ustalamy zawsze]

Mamy obliczyć pochodną funkcji złożonej  y' = dy/dx = [√(x + 5)/(x - 5)]'  

gdzie  funkcją wewnętrzną jest (podstawiamy):  

u =  (x + 5)/(x - 5)

to        du/dx = [poch. ilorazu] = [(x + 5)' * (x - 5) - (x + 5) * (x - 5)'] /(x - 5)²    

to  du/dx = [(1 + 0)(x - 5) - (x + 5)(1 - 0)] /(x - 5)²  = [(x - 5) - (x + 5)] /(x - 5)²

to  du/dx = [(x - 5 - x - 5)] /(x - 5)² = - 10/(x - 5)²   to   du/dx = - 10/(x - 5)²

to  y = √u   to   [na początku już obliczyliśmy:  √u = u^1/2

(√u)' =  dy/du =  1/(2√u)

to

y' = dy/dx = du/dx * dy/du =

- 10/(x - 5)² * 1/(2√u) = [- 10/(x - 5)²] /[(2√(x + 5)/(x - 5)]