Question

Oblicz współrzędne środka S okręgu o równaniu [tex]x^{2} + y^{2} + 4x - 6y - 221 = 0[/tex]

Answer 1

Odpowiedź:

S(-2,3)

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex](x + 2) ^{2} - 4 + {(y - 3)}^{2} - 9 - 221 = 0 \\ {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 234 \\ s( - 2. \: 3)[/tex]

Answer 2

Verified answer

Współrzędne środka okręgu to (-2, 3), a promień ma długość 3√26.

Równanie okręgu.

Postać kanoniczna:

[tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/tex]

[tex](a,\ b)[/tex] - środek okręgu

[tex]r[/tex] - promień okręgu

Postać ogólna:

[tex]x^2+y^2-2ax-2bx+c=0\\\\r^2=a^2+b^2-c > 0[/tex]

Jeżeli dane równanie

[tex]x^2+y^2+4x-6y-221=0[/tex]

jest poprawnym równaniem okręgu i mamy znaleźć tylko współrzędne środka okręgu wystarczy nam ułożyć i rozwiązać następujące równania:

[tex]-2a=4\ \wedge\ -2b=-6[/tex]

A stąd mamy

[tex]a=-2\ \wedge\ b=3[/tex]

Promień to:

[tex]r^2=2^2+3^2-(-221)\\\\r^2=4+9+221\\\\r^2=234\to r=\sqrt{234}\\\\r=\sqrt{9\cdot26}\\\\r=3\sqrt{26}[/tex]

Zatem współrzędne środka okręgu to (-2, 3), a promień ma długość 3√26.

Innym sposobem jest przedstawienie równania w postaci kanonicznej.

Do tego potrzebne nam będą wzory skróconego mnożenia:

[tex](a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2[/tex]

[tex]x^2+y^2+4x-6y-221=0\qquad|+221\\\\x^2+2\cdot x\cdot2+y^2-2\cdot y\cdot 3=221\qquad|+2^2+3^2\\\\\underbrace{(x^2+2\cdot x\cdot2+2^2)}_{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}+\underbrace{(y^2-2\cdot y\cdot3+3^2)}_{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}=221+4+9\\\\(x+2)^2+(y-3)^2=234[/tex]

Stąd mamy

[tex]a=-2,\ b=3\to(-2,\ 3)[/tex]

[tex]r^2=234\to r=\sqrt{234}\\\\r=\sqrt{9\cdot26}\\\\r=3\sqrt{26}[/tex]

Zatem współrzędne środka okręgu to (-2, 3), a promień ma długość 3√26.