Question

W okręgu cięciwa o długości [tex]20\sqrt{2}[/tex] wyznacza kąt środkowy o mierze 90 stopni. Długość krótszego łuku okręgu, którego końcami są końce tej cięciwy równa się
A. 40 [tex]\pi[/tex]
B. 10 [tex]\pi[/tex]
C. 200 [tex]\pi[/tex]
D. 400 [tex]\pi[/tex]

Answer 1

Odpowiedź:

r² + r² = ( 20√2)²

2 r² = 400*2

r² = 400

r = 20

L = 0, 25*2π*r = 0,5π * 20 = 10 π

=============================

Szczegółowe wyjaśnienie:

Answer 2

Odpowiedź:

Możemy sobie narysować okrąg, cięciwę i wyznaczyć kąt środkowy o mierze 90 stopni.

Widzimy wówczas, że otrzymaliśmy trójkąt prostokątny równoramienny. Jego przeciwprostokątna jest równa [tex]20\sqrt{2}[/tex], a jego przyprostokątne tworzą zarazem promień okręgu.

Mamy obliczyć długość łuku okręgu, a więc potrzebujemy do tego obliczyć najpierw promień naszego okręgu.

Z równania z trójkąta równoramiennego prostokątnego

[tex]2a^2 = c^2\\c = a\sqrt{2}[/tex]

Widzimy od razu, że przeciwprostokątna to [tex]a\sqrt{2}[/tex], a my mamy tam [tex]20\sqrt{2}[/tex] zatem wiemy już, że "a", czyli u nas "r" (promień) równa się 20.

Możemy to też z twierdzenia Pitagorasa obliczyć

[tex]r^2 + r^2 = (20\sqrt{2})^2 \\2r^2 = (20\sqrt{2})^2\\2r^2 = 800\\r^2 = 400\\r = \sqrt{400}\\r = 20[/tex]

Skoro znamy już promień okręgu to możemy przystąpić do obliczenia długości łuku ze wzoru

[tex]l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360}[/tex] Gdzie alfa to kąt środkowy podanego okręgu

Podstawiamy

[tex]l = 2\pi \cdot 20 \cdot \frac{90}{360} = 40\pi \cdot \frac{1}{4} = 10\pi[/tex]

Zatem odpowiedź B.

Szczegółowe wyjaśnienie: