Question

Rozwiąż równanie
[tex]|x^{2} -4| + |x^{2} -5| =1[/tex]

Answer 1

Rozwiązywanie równania z dwoma modułami

x ∈ [-√5, -2] ∪ [2, √5]

Rozwiązanie:

Aby rozwiązać równanie, w którym x znajduje się w dwóch różnych modułach, musimy podzielić dziedzinę x na kilka przedziałów. Te przedziały wyznaczamy poprzez wyliczenie, dla jakich wartości wyrażenie w każdym module będzie równe 0.

Dla |x² - 4|:

x² - 4 = 0

x² = 4

x = 2 lub x = -2

Dla |x² - 5|:

x² - 5 = 0

x² = 5

x = √5 lub x = -√5

Zaznaczamy otrzymane punkty na osi. W sumie otrzymujemy 5 przedziałów:

• x ∈ (-∞, -√5)

W tym przedziale oba moduły będą przyjmować wartości dodatnie, więc zdejmujemy moduły bez zmiany znaków:

x² - 4 + x² - 5 = 1

2x² - 10 = 0

x² - 5 = 0

x² = 5

x = √5 lub x = -√5

Żaden z otrzymanych x nie należy do rozważanego przedziału. W tym przedziale nie ma rozwiązań równania.

• x ∈ [-√5, -2)

W tym przedziale pierwszy moduł przyjmuje wartości dodatnie, a drugi ujemne. Zmieniamy znaki tylko przy elementach drugiego modułu:

x² - 4 - x² + 5 = 1

1 = 1

Równanie jest tożsamościowe, x ∈ R.

Rozwiązaniem równania będzie cały przedział x ∈ [-√5, -2).

• x ∈ [-2, 2)

W tym przedziale oba moduły będą przyjmować wartości ujemne, więc zdejmujemy moduły ze zmianą znaków:

-x² + 4 - x² + 5 = 1

-2x² + 8 = 0

x² + 4 = 0

x² = 4

x = 2 lub x = -2

Tylko x = -2 należy do rozważanego przedziału, to jedyne rozwiązanie równania w tym przedziale.

• x ∈ [2, √5)

Pierwszy moduł przyjmuje wartości dodatnie, drugi ujemne. Wiemy, że w takim przypadku równanie jest tożsamościowe - rozwiązaniem jest przedział x ∈ [2, √5).

• x ∈ [√5, +∞)

Oba moduły przyjmują wartości dodatnie. Rozwiązanie będzie identyczne, jak w pierwszym przypadku:

x = √5 lub x = -√5

Rozwiązaniem w tym przedziale jest x = √5.

Ostatecznym rozwiązaniem równania jest suma rozwiązań we wszystkich przedziałach:

x ∈ [-√5, -2] ∪ [2, √5]

#SPJ1