Uprzejmie proszę o pomoc
Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym [tex]a_{n}[/tex]
a) [tex]a_{n}=3^{n}[/tex]
b) [tex]a_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-n[/tex]
c) [tex]a_{n}=\frac{100^{n}}{n!}[/tex]
d) [tex]a_{n}=2+\frac{(-1)^{n}}{n}[/tex]
Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym [tex]a_{n}[/tex]
a) [tex]a_{n}=3^{n}[/tex]
b) [tex]a_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-n[/tex]
c) [tex]a_{n}=\frac{100^{n}}{n!}[/tex]
d) [tex]a_{n}=2+\frac{(-1)^{n}}{n}[/tex]
Monotoniczność ciągów
Ciągi określone są na zbiorze liczb naturalnych (nie istnieją ułamkowe lub ujemne wyrazy ciągu, np [tex]a_{-5}[/tex] czy [tex]a_{2,5}[/tex]).
Ciągi, pod względem monotoniczności, dzielą się na monotoniczne i niemonotoniczne.
Podział ciągów monotonicznych:
[tex]a_1 < a_2 < a_3[/tex]
Przykład:
2, 4, 8, 10...
[tex]a_1 > a_2 > a_3[/tex]
Przykład:
10, 8, 4, 2...
[tex]a_1\leq a_2 \leq a_3[/tex]
Przykład:
2, 3, 3, 3, 4, 5, 5...
[tex]a_1 \geq a_2 \geq a_3[/tex]
Przykład:
5, 4, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 1...
Ciągi niemonotoniczne to ciągi, w których każdy kolejny wyraz jest albo mniejszy albo większy od poprzedniego.
Przykład:
-1, 2, -4, 8, -16, 32
Rozwiązanie:
[tex]D: n\in \mathbb{N}[/tex]
a)
[tex]a_n=3^n\\\\a_1=3^1=3\\a_2=3^2=9\\a_3=3^3=27[/tex]
[tex]a_1 < a_2 < a_3[/tex]
Ciąg rosnący
b)
[tex]a_n=\sqrt{n^2+1}-n\\\\a_1=\sqrt{1^2+1}-1=\sqrt{2}-1\approx 0,41\\a_2=\sqrt{2^2+1}-2=\sqrt{5}-2 \approx 0,23\\a_3=\sqrt{3^2+1}-3=\sqrt{10}-3 \approx 0,16\\\\a_1 > a_2 > a_3[/tex]
Ciąg malejący
c)
[tex]a_n=\dfrac{100^n}{n!}\\\\a_1=\dfrac{100^1}{1!}=\dfrac{100}1=100\\\\a_2=\dfrac{100^2}{2!}=\dfrac{10000}{2*1}=5000\\\\a_3=\dfrac{100^3}{3!}=\dfrac{1000000}{3*2*1}=\dfrac{1000000}{6}=166666\dfrac23[/tex]
[tex]a_1 < a_2 < a_3[/tex]
Ciąg rosnący
d)
[tex]a_n=2+\dfrac{(-1)^n}n\\a_1=2+\dfrac{(-1)^1}1=2+(-1)=2-1=1\\\\a_2=2+\dfrac{(-1)^2}{2}=2+\dfrac12=2\dfrac12\\\\a_3=2+\dfrac{(-1)^3}3=2+(-\dfrac13)=1\dfrac23[/tex]
Ciąg niemonotoniczny