Question

Wykaż, że jeśli ciąg (x+15,8,x-15) jest ciągiem geometrycznym malejącym, to iloraz tego ciągu jest jednym z pierwiastków wielomianu [tex]W(x)=4x^4-x^3-32x+8[/tex]

Answer 1

Wyrazy ciągu geometrycznego: 32, 8, 2

Iloraz tego ciągu: [tex]\frac14[/tex]

[tex]\frac14[/tex] jest jednym z pierwiastków wielomianu W(x).

Trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego - reguła

Dla trzech kolejnych wyrazów ([tex]a_{n-1}, a_{n},a_{n+1}[/tex]) ciągu geometrycznego zachodzi reguła:

[tex](a_n)^2=a_{n-1}*a_{n+1}[/tex]

Czyli środkowy wyraz podniesiony do kwadratu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych. W naszym zadaniu mamy ciąg geometryczny malejący o wyrazach  (x+15, 8, x-15). Zastosujmy podaną wyżej regułę do tych 3 wyrazów ciągu:

8² = (x - 15)(x + 15)

64 = x² - 225

x² = 289

x = 17 lub x = -17

Wiemy, że ten ciąg jest malejący, więc aby był malejący musimy przyjąć x = 17 jako rozwiązanie.

Podstawiając za "x" wartość 17 otrzymamy kolejne wyrazy ciągu:

32, 8, 2

Aby obliczyć iloraz ciągu, musimy podzielić wyraz [tex]a_{n+1}[/tex] przez [tex]a_n[/tex]:

[tex]q=\frac{8}{32}\\\\ q=\frac14[/tex]

Iloraz tego ciągu wynosi [tex]\frac14[/tex].

Mamy wykazać, że iloraz ciągu jest jednym z pierwiastków wielomianu W(x). A więc iloraz ciągu, czyli liczba [tex]\frac14[/tex] ma być miejscem zerowym tego wielomianu.

[tex]f(\frac14)=0\\0 = 4*(\frac14)^4-(\frac14)^3-32*\frac14 + 8\\0=4*\frac{1}{256}-\frac{1}{64}-8+8\\ 0=\frac{1}{64} -\frac{1}{64} \\0=0[/tex]

Wniosek: Lewa strona równania równa się prawej, więc liczba [tex]\frac14[/tex], czyli również iloraz ciągu, jest jednym z pierwiastków wielomianu W(x), co mieliśmy wykazać.

#SPJ1