rozwiąż równanie
a) [tex] log_{16}4 + log_{16}5 + log_{16}6 = x + log_{16}(4 + 5 + 6) [/tex]
b) [tex] log_{8}6 + log_{8}7 + log_{8}8 = x + log_{8}(6 + 7 + 8) [/tex]
a) [tex] log_{16}4 + log_{16}5 + log_{16}6 = x + log_{16}(4 + 5 + 6) [/tex]
b) [tex] log_{8}6 + log_{8}7 + log_{8}8 = x + log_{8}(6 + 7 + 8) [/tex]
Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
Zadanie rozwiążemy stosując podstawowe własności logarytmowania:
[tex]a)log_{16}4+log_{16}5+log_{16}6=x+log_{16}(4+5+6)\\\\log_{16}(4\cdot5\cdot6)=x+log_{16}15\\\\log_{16}120=x+log_{16}15\\\\x=log_{16}120-log_{16}15\\\\x=log_{16}\dfrac{120}{15}\\\\x=log_{16}8[/tex]
Teraz powracamy do definicji logarytmu:
[tex]log_ab=c\ = > \ a^c=b[/tex]
i to wykorzystamy:
[tex]log_{16}8=x\\to:\\16^x=8\\(2^4)^x=2^3\\2^{4x}=2^3}\\4x=3\\x=\dfrac34[/tex]
I ta liczba x=3/4 jest rozwiązaniem naszego równania.
Identycznie postępujemy dla drugiego równania:
[tex]log_86+log_87+log_88=x+log_8(6+7+8)\\\\log_8(6\cdot7)+1=x+log_821\\\\log_842+1=x+log_821\\\\x=1+log_842-log_821\\\\x=1+log_8\dfrac{42}{21}\\\\x=1+log_82[/tex]
[tex]log_82=c\\8^c=2\\(2^3)^c=2\\2^{3c}=2^1\\3c=1\\c=\frac13[/tex]
I powracamy do równania z iksem, wstawiając wyznaczony logarytm:
[tex]x=1+\frac13\\\\x=\dfrac43[/tex]
Liczba x=4/3 jest rozwiązaniem naszego równania.