Question

Proszę pilnie o pomoc. Zadania z trygonometrii.

1. Wiedząc, że [tex]\alpha[/tex] jest kątem rozwartym oraz sin [tex]\alpha[/tex] + cos[tex]\alpha[/tex] =[tex]\frac{5}{6}[/tex] , oblicz sin[tex]\alpha[/tex] · cos[tex]\alpha[/tex].

2. Sprawdź tożsamość: [tex]\frac{sin \alpha }{1+ cos \alpha } + \frac{1+ cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{2}{sin\alpha}[/tex].
Oblicz wartość prawej strony tożsamości dla kąta ostrego [tex]\alpha[/tex] , którego cos [tex]\alpha[/tex] =[tex]\frac{3}{5}[/tex].

3. Wiedząc, że [tex]2(sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha) + 3\frac{sin\alpha}{cos\alpha} = 4[/tex] , oblicz tg[tex]\alpha[/tex].

Answer 1

Wzory trygonometryczne

[tex]\huge\boxed{\begin{array}{c}sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\\tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\\\\ctg\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}\\\\tg\alpha*ctg\alpha=-1\end{array}}[/tex]

Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych

[tex]\begin{array}{| c | c | c | c | c |}\cline{1-5}\:&I&II&III&IV\\\cline{1-5}sin\alpha&+&+&-&-\\\cline{1-5}cos\alpha&+&-&-&+\\\cline{1-5}tg\alpha&+&-&+&-\\\cline{1-5}ctg\alpha&+&-&+&-\\\cline{1-5}\end{array}[/tex]

Rozwiązanie

Zad. 1

[tex]\alpha \in (90^\circ; 180^\circ)[/tex]

Kąt α znajduje się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych.

[tex]sin\alpha+cos\alpha=\frac56 /^2\\(sin\alpha+cos\alpha)^2=\frac{25}{36}\\sin^2\alpha+2sin\alpha cos\alpha+cos^2\alpha=\frac{25}{36}\\1+2sin\alpha cos\alpha=\frac{25}{36}\\2sin\alpha cos\alpha=\frac{25}{36}-1\\2sin\alpha cos\alpha=-\frac{11}{36} /*\frac12\\\boxed{sin\alpha cos\alpha=-\frac{11}{72}}[/tex]

Zad. 2

[tex]\dfrac{sin\alpha}{1+cos\alpha}+\dfrac{1+cos\alpha}{sin\alpha}=\dfrac{2}{sin\alpha}\\\\\\\dfrac{sin^2\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)}+\frac{(1+cos\alpha)^2}{sin\alpha(1+cos\alpha)}=\dfrac{2}{sin\alpha}\\\\\\[/tex]

[tex]\dfrac{sin^2\alpha+1+2cos\alpha+cos^2\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)}=\dfrac2{sin\alpha}\\\\\\\dfrac{2+2cos\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)}=\dfrac{2}{sin\alpha}\\\\\\sin\alpha(2+2cos\alpha)=2sin\alpha(1+cos\alpha)\\\\\\2sin\alpha+2sin\alpha cos\alpha=2sin\alpha+2sin\alpha cos\alpha\\\\L=P\\\text{Tozsamosc jest prawdziwa}[/tex]

[tex]\alpha\in(0^\circ; 90^\circ)\\cos\alpha=\frac35 /^2\\cos^2\alpha=\frac9{25}\\\\sin^2\alpha=1-cos^2\alpha\\sin^2\alpha=1-\frac9{25}\\sin^2\alpha=\frac{16}{25}/\sqrt{}\\sin\alpha=\frac4{5}\\\\\frac{2}{sin\alpha}=2:\frac45=2*\frac54=\frac52\2=2\frac12\\\\\boxed{\frac{2}{sin\alpha}=2\frac12}[/tex]

Zad. 3

[tex]2(sin^2\alpha+cos^2\alpha)+3\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=4\\2*1+3tg\alpha=4\\2+3tg\alpha=4 /-2\\3tg\alpha=2 /:3\\\boxed{tg\alpha=\frac23}[/tex]