Punkty A (-4,-4), B(6,-4) i C(14,2) są wierzchołkami rombu ABCD. Okrąg, którego środkiem jest punkt przecięcia przekątnych tego rombu, styczny do boku AB, dany jest równaniem :
A.
[tex](x - 4) {}^{2} + (y + 1) {}^{2} = 16[/tex]
B.
[tex](x - 4) {}^{2} + (y + 1) {}^{2} = 9[/tex]
C.
[tex](x - 5) {}^{2} + (y + 1) {}^{2} = 16[/tex]
D.
[tex](x - 5) {}^{2} + (y + 1) {}^{2} = 9[/tex]
A.
[tex](x - 4) {}^{2} + (y + 1) {}^{2} = 16[/tex]
B.
[tex](x - 4) {}^{2} + (y + 1) {}^{2} = 9[/tex]
C.
[tex](x - 5) {}^{2} + (y + 1) {}^{2} = 16[/tex]
D.
[tex](x - 5) {}^{2} + (y + 1) {}^{2} = 9[/tex]
Odpowiedź:
D
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przekątne rombu dzielą się na połowy, więc punkt ich przecięcia jest środkiem tych przekątnych. Dlatego środek ten policzymy jako środek przekątnej AC.
[tex]S=(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2})\\S=(\frac{-4+14}{2},\frac{-4+2}{2})=(\frac{10}{2},\frac{-2}{2})=(5,-1)[/tex]
Skoro okrąg jest styczny do boku AB, to promień okręgu policzymy jako odległość punktu S od prostej AB.
Najpierw jednak znajdźmy prostą AB. Zauważmy, że punkty A i B mają równe drugie współrzędne, więc prosta AB jest prostą poziomą, a jej równanie to
[tex]AB:y=-4[/tex]
Zatem w tym przypadku promień jest równy
[tex]r=-1-(-4)=-1+4=3[/tex]
Zatem szukany okrąg ma równanie
[tex](x-x_S)^2+(y-y_S)^2=r^2\\(x-5)^2+(y+1)^2=9[/tex]