Question

Znajdź największy ujemny pierwiastek równania:
[tex] { \sin {}^{2} (2x) }^{ {}^{} } + \frac{1}{2} \sin(4x) = \tan(2x) [/tex]
​

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

[tex]x=-\dfrac{3}{8}\pi[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

wprowadzam oznaczenie:

[tex]t=2x[/tex]

[tex]\sin^2t+\dfrac{1}{2}\sin(2t)-\text{tg}(t)=0[/tex]

środkowy wyraz ze wzoru na sinus podwojonego kąta:

[tex]\sin^2t+\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot \sin t\cos t-\dfrac{\sin t}{\cos t}=0\\\\\sin t\left(\sin t+\cos t - \dfrac{1}{\cos t}\right)=0\\\\\sin t \dfrac{\sin t \cos t+\cos^2 t-1}{\cos t}=0\\\\\sin t\dfrac{\sin t \cos t - \sin^2 t}{\cos t}=0\\\\\sin^2t\dfrac{\cos t-\sin t}{\cos t}=0[/tex]

wyrażenie jest równe zero jeśli (założenie: cos t != 0) (poniżej największe ujemne pierwiastki):

[tex]\sin t=0\quad\lor\quad\cos t=\sin t\\\\t=-\pi \quad\lor\quad t=-\dfrac{3}{4}\pi[/tex]

wracamy do zmiennej x:

[tex]x=-\dfrac{1}{2}\pi\quad\lor\quad x=-\dfrac{3}{8}\pi[/tex]

największy ujemny pierwiastek to:

[tex]x=-\dfrac{3}{8}\pi[/tex]