Skróć dany ułamek algebraiczny. Podaj konieczne założenia. DAJE NAJ I DUŻO PUNKTÓW!!! NIEPRAWIDŁOWEODPOWIEDZI USUWAM!
a) [tex](9x^2-1):(1-6x-9x^2)[/tex]
b) [tex](x^3+x^2-4x-4):(x^2+3x+2)[/tex]
a) [tex](9x^2-1):(1-6x-9x^2)[/tex]
b) [tex](x^3+x^2-4x-4):(x^2+3x+2)[/tex]
a)
[tex](9x^2-1):(1-6x+9x^2)=\frac{9x^2-1}{1-6x+9x^2}[/tex]
Zał.
[tex]1-6x+9x^2\neq 0\\[/tex]
Tu mamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
[tex](1-3x)^2\neq 0\\1-3x\neq 0\\-3x\neq -1\ |:(-3)\\x\neq \frac{1}{3}\\D=\mathbb{R}-\{\frac{1}{3}\}[/tex]
Rozłóżmy licznik i mianownik na czynniki.
Licznik rozłożymy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
[tex]9x^2-1=(3x-1)(3x+1)[/tex]
Mianownik rozłożymy, korzystając z obliczeń w założeniu.
[tex]1-6x+9x^2=(1-3x)^2=(3x-1)^2[/tex]
Zatem ułamek ma postać:
[tex](9x^2-1):(1-6x+9x^2)=\frac{9x^2-1}{1-6x+9x^2}=\frac{(3x-1)(3x+1)}{(3x-1)^2}=\frac{3x+1}{3x-1}[/tex]
b)
[tex](x^3+x^2-4x-4):(x^2+3x+2)=\frac{x^3+x^2-4x-4}{x^2+3x+2}[/tex]
Zał.
[tex]x^2+3x+2\neq 0\\\Delta=3^2-4*1*2=9-8=1\\\sqrt\Delta=1\\x_1=\frac{-3-1}{2}=-2\\x_2=\frac{-3+1}{2}=-1\\D=\mathbb{R}-\{-2,-1\}[/tex]
Rozłóżmy licznik i mianownik na czynniki.
Licznik rozłożymy poprzez grupowanie i wyciąganie przed nawias.
[tex]x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2)[/tex]
Mianownik rozłożymy, korzystając z obliczeń w założeniu. Przedstawiamy mianownik w postaci iloczynowej jak dla funkcji kwadratowej.
[tex]x^2+3x+2=(x+2)(x+1)[/tex]
Zatem ułamek ma postać:
[tex](x^3+x^2-4x-4):(x^2+3x+2)=\frac{x^3+x^2-4x-4}{x^2+3x+2}=\frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+1)}=x-2[/tex]