udowodnij, że dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność
[tex]2x^{2} + 2y^{2} - 2xy + 2x + 6y + 13 \ \textgreater \ 0[/tex]
[tex]2x^{2} + 2y^{2} - 2xy + 2x + 6y + 13 \ \textgreater \ 0[/tex]
[tex]2x^2+2y^2-2xy+2x+6y+13 > 0\\2x^2+y^2+y^2-(2xy-2x)+6y+13 > 0\\2x^2+y^2-2x(y-1)+y^2-2y+8y+13 > 0\\2x^2-2x(y-1)+y^2-2y+1+y^2+8y+12 > 0\\2x^2-2x(y-1)+(y-1)^2+y^2+8y+16-4 > 0\\x^2-2x(y-1)+(y-1)^2+(y+4)^2+x^2-4 > 0\\(x-y+1)^2+(y+4)^2+x^2-4 > 0[/tex]
Drugi składnik przyjmie najmniejszą wartość, równą 0, dla y=-4.
Wtedy pierwszy składnik będzie postaci (x+4+1)²=(x+5)².
Najmniejszą wartość przyjmie dla x= - 5.
Czyli suma dwóch ostatnich składników będzie zawsze dodatnia.
Suma liczb dodatnich jest liczbą dodatnią.