Question

rozwiąż działania
[tex] {x}^{2} - 4x + 4 = 0[/tex]

[tex]2x + 3 + x \sqrt{3} \leqslant 4[/tex]
​

Answer 1

Witaj :)

  Naszym zadaniem jest rozwiązanie równania kwadratowego, oraz nierówności liniowej.

Równanie kwadratowe

[tex]\Huge \boxed{x^2-4x+4=0}[/tex]

  Powyższe równanie zawiera sobie niewiadomą w drugiej potędze, więc jest to równanie kwadratowe. Zauważamy, że w tym przypadku mamy do czynienia ze wzorem skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch składników, który wygląda następująco:

[tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex]

gdzie:

[tex]a=x\ \ \ \wedge \ \ \ b=2[/tex]

Wobec czego możemy zapisać nasze równanie jako:

[tex](x-2)^2=0[/tex]

Powyższe równanie będzie spełnione, jeżeli wyrażenie w nawiasie będzie równe 0, więc:

[tex]x-2=0[/tex]

Rozwiązujemy to równanie:

[tex]x-2=0\ /+2\\x=2[/tex]

Więc możemy zapisać, że:

[tex]\Huge \boxed{x^2-4x+4=0\iff x\in\{2\}}[/tex]

Odpowiedź.: Powyższe równanie jest spełnione dla x=2.

Nierówność liniowa

[tex]\Huge \boxed{2x+3+x\sqrt{3}\leq 4}[/tex]

  Aby rozwiązać powyższą nierówność, musimy dojść do sytuacji, że po stronie lewej będziemy mieli niewiadomą "x", a po stronie prawej liczbę. W pierwszej kolejności odejmiemy obustronnie liczbę 3:

[tex]2x+3+x\sqrt{3}\leq 4\ /-3\\2x+x\sqrt{3}\leq 4-3\\2x+x\sqrt{3}\leq 1[/tex]

Teraz wyciągniemy nasz "x" przed nawias i otrzymamy:

[tex]x(2+\sqrt{3})\leq 1[/tex]

Dzielimy obustronnie przez wyrażenie w nawiasie:

[tex]x(2+\sqrt{3})\leq 1\ /:(2+\sqrt{3})\\\\x\leq \frac{1}{2+\sqrt{3}}[/tex]

Usuwamy niewymierność po stronie prawej, mnożąc licznik i mianownik ułamka przez liczbę sprzężoną do mianownika:

[tex]x\leq \frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \\\\x\leq \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}[/tex]

Zauważamy, że w mianowniku mamy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch składników:

[tex](a-b)(a+b)=a^2-b^2,\ gdzie:\ \ a=2\ \ \ \wedge\ \ \ b=\sqrt{3}[/tex]

Więc:

[tex]x\leq \frac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2} \\\\x\leq \frac{2-\sqrt{3}}{4-3}\\ \\x\leq \frac{2-\sqrt{3}}{1}\\ \\x\leq 2-\sqrt{3}[/tex]

Wobec powyższego możemy zapisać, że:

[tex]x\in(-\infty ; 2-\sqrt{3} >[/tex]

Czyli:

[tex]\huge \boxed{2x+3+x\sqrt{3}\leq 4\iff x\in(-\infty ;2-\sqrt{3} > }[/tex]

Odpowiedź.: Powyższa nierówność jest spełniona dla x∈(-∞;2-√3>.