Question

Rozwiąż równanie [tex]\frac{1}{2(x+5)} -\frac{1}{25-x^{2} } =\frac{x+1}{2x^{2} -10x}[/tex]

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

Rozwiązanie równania wynosi: [tex]x = -\frac{5}{9}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Co należy wiedzieć:
Dziedzina jest to zbior wartości x, dla których określona jest funkcja.

Wyznaczanie dziedziny:

Jeżeli w równaniu x występuję w mianowniku, oznacza to, że należy znaleźć taką wartość x, dla której mianownik nie będzie równy 0.

Obliczanie mianowników:

1.

[tex]2(x+5)=0[/tex]
[tex]2x+10=0[/tex]

[tex]2x=-10\\x=-5[/tex]

2.

[tex]25-x^{2} =0\\x^{2} =25\\x=5 \\ x=-5[/tex]

3.

[tex]2x^{2} -10x=0\\x(2x-10)=0\\x = 0\\2x - 10 = 0\\ x = 5[/tex]

Wartość x nie może być równa -5, 0, 5

Rozwiązywanie równania:

[tex]\frac{1}{2(x+5)}-\frac{1}{25-x^{2} }=\frac{x+1}{2x^{2} -10x}[/tex]        

Najpierw należy przenieść wszystko na lewą stronę równania

[tex]\frac{1}{2(x+5)}-\frac{1}{25-x^{2} }-\frac{x+1}{2x^{2} -10x} =0[/tex]

Następnie wiedząć, że  [tex]25-x^{2} = (5 - x)*(5+x)[/tex], należy zapisać to w podanej postacii, oraz w trzecim wyrażeniu wyciągnąć 2x przed nawias.

[tex]\frac{1}{2(x+5)}-\frac{1}{(5-x)*(5+x) }-\frac{x+1}{2x*(x-5)}=0[/tex]

Jeżeli przed nawiasem (5-x) postawimy znak minus otrzymamy -(x-5),po podstawieniu tego do równania zmieni się znak pomiędzy pierwszym i drugim wyrażeniem w minusa na plus.

[tex]\frac{1}{2(x+5)}+\frac{1}{(x-5)*(5+x) }-\frac{x+1}{2x*(x-5)}=0[/tex]

Następnie zapisujemy w postacii ułamka o wspólnym mianowniku i obliczamy wyrażenie.

[tex]\frac{x(x-5)+2x-(x+5)*(x+1)}{2x*(x+5)*(x-5)} =0\\\\\frac{x^{2}-5x+2x-(x^{2} +x+5x+5) }{2x*(x+5)*(x-5)} =0\\\\\frac{x^{2} -5x+2x-x^{2} -6x-5}{2x*(x+5)*(x-5)}=0\\\\\frac{-9x-5}{2x*(x+5)*(x-5)} =0[/tex]

Zauważmy, że ułamek równy jest 0, mianownik nie może się zerowac, dlatego licznik należy przyrównać do 0.

[tex]-9x-5=0\\-9x=5\\x=-\frac{5}{9}[/tex]

Wniosek:

Wynikiem równania jest [tex]-\frac{5}{9}[/tex], Wynik należy do dziedziny ponieważ x nie jest równy: -5, 0, 5.

Answer 2

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny:

[tex]2(x+5)\neq 0 \ \ \ \wedge \ \ \ 25-x^2\neq 0 \ \ \ \wedge \ \ \ 2x^2-10x \neq 0 \\ \\ x+5\neq 0 \ \ \ \wedge \ \ \ -x^2\neq -25 \ \ \ \wedge \ \ \ 2x(x-5)\neq 0 \\ \\ x\neq -5 \ \ \ \wedge \ \ \ x^2\neq 25 \ \ \ \wedge \ \ \ 2x\neq 0 \ \ \ \wedge \ \ \ x-5\neq 0 \\ \\ x\neq -5 \ \ \ \wedge \ \ \ x\neq 5 \ \ \ \wedge \ \ \ x\neq 0 \\ \\ D=\mathbb{R}\setminus \{ -5,-0,5\}[/tex]

Przekształcamy równanie:

[tex]\frac{1}{2(x+5)}-\frac{1}{25-x^2}=\frac{x+1}{2x^2-10x} \\ \\ \frac{1}{2(x+5)}-\frac{1}{(5-x)(5+x)}-\frac{x+1}{2x(x-5)} =0 \\ \\ \frac{x(x-5)}{2x(x+5)(x-5)}+\frac{2x}{2x(x-5)(x+5)}-\frac{(x+1)(x+5)}{2x(x+5)(x-5)} =0 \\ \\ \frac{x(x-5)+2x-(x+1)(x+5)}{2x(x+5)(x-5)}=0 \\ \\ \frac{x^2-5x+2x-(x^2+5x+x+5)}{2x(x+5)(x-5)}=0 \\ \\ \frac{x^2-5x+2x-x^2-5x-x-5}{2x(x+5)(x-5)}=0 \\ \\ \frac{-9x-5}{2x(x+5)(x-5)}=0 \\ \\ -9x-5=0 \\ \\ -9x=5 \ \ \ \ \ |:(-9) \\ \\ x=-\frac{5}{9} \in D[/tex]

Odp.   [tex]\mathbf{x=-\frac{5}{9}}[/tex]