Question

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
[tex]13x^{2}-8xy+5y^{2}\geq 0[/tex]

Answer 1

Odpowiedź:

przekształcimy trochę lewą stronę nierówności i pokażemy, że jest ona większa lub równa 0

[tex]13x^{2} -8xy+5y^{2} =4x^{2} -8xy+4y^{2} +9x^{2} +y^{2}=(2x-2y)^{2} +9x^{2} +y^{2}[/tex]

teraz zauważmy, że każdy składnik tej sumy jest większy lub równy 0, gdyż kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze większy lub równy 0, więc podana suma jest także większa lub równa zero, więc zachodzi

[tex](2x-2y)^{2} +9x^{2} +y^{2}\geq 0[/tex]

czyli ostatecznie

[tex]13x^{2} -8xy+5y^{2} \geq 0[/tex]