Question

Przedstaw liczbę w postaci [tex]a^{m}[/tex] , gdzie m ∈ Q

a) [tex]7^{\frac{1}{3} }[/tex] * [tex]7^{\frac{1}{2} }[/tex]
b) [tex]3^{\frac{5}{2} } * 3^{\frac{3}{4} }[/tex]
c) [tex](\frac{2}{3} )^{\frac{1}{2} } * (\frac{2}{3} )^{-\frac{1}{3} }[/tex]
d) [tex]\frac{1}{5} * (5^{2})^{-\frac{1}{3} }[/tex]
e) [tex]3^{\frac{2}{3} } * 3^{-\frac{4}{3} } * 9^{2}[/tex]
f) [tex]25^{- 0,5} * (5^{\frac{1}{3} })^{-6}[/tex]

Answer 1

[tex]a)\ \ 7^{\frac{1}{3}}\cdot7^{\frac{1}{2}}=7^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}=7^{\frac{2}{6}+\frac{3}{6}}=7^{\frac{5}{6}}\\\\\\b)\ \ 3^{\frac{5}{2}}\cdot3^{\frac{3}{4}}=3^{\frac{5}{2}+\frac{3}{4}}=3^{\frac{10}{4}+\frac{3}{4}}=3^{\frac{13}{4}}\\\\\\c)\ \ (\frac{2}{3})^{\frac{1}{2}}\cdot(\frac{2}{3})^{-\frac{1}{3}}=(\frac{2}{3})^{\frac{1}{2}+(-\frac{1}{3})}=(\frac{2}{3})^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=(\frac{2}{3})^{\frac{3}{6}-\frac{2}{6}}=(\frac{2}{3})^{\frac{1}{6}}[/tex]

[tex]d)\ \ \frac{1}{5}\cdot(5^2)^{-\frac{1}{3}}=5^{-1}\cdot5^{2\cdot(-\frac{1}{3})}=5^{-1}\cdot5^{-\frac{2}{3}}=5^{-1+(-\frac{2}{3})}=5^{-1-\frac{2}{3}}=5^{-1\frac{2}{3}}=\\\\=5^{-\frac{5}{3}}=(\frac{1}{5})^{\frac{5}{3}}\\\\\\e)\ \ 3^{\frac{2}{3}}\cdot3^{-\frac{4}{3}}\cdot9^2=3^{\frac{2}{3}}\cdot3^{-\frac{4}{3}}\cdot(3^2)^2=3^{\frac{2}{3}}\cdot3^{-\frac{4}{3}}\cdot3^4=3^{\frac{2}{3}+(-\frac{4}{3})+4}=3^{\frac{2}{3}-\frac{4}{3}+4}=[/tex]

[tex]=3^{-\frac{2}{3}+4}=3^{-\frac{2}{3}+\frac{12}{3}}=3^{\frac{10}{3}}\\\\\\f)\ \ 25^{-0,5}\cdot(5^{\frac{1}{3}})^{-6}=(5^2)^{-0,5}\cdot5^{-\frac{6}{3}}=5^{-1}\cdot5^{-2}=5^{-1+(-2)}=5^{-1-2}=5^{-3}=(\frac{1}{5})^3[/tex]

Przy mnożeniu potęg o jednakowych podstawach podstawę przepisujemy, a wykładniki dodajemy

[tex]a^m\cdot a^n=a^{m+n}[/tex]

Przy potęgowaniu potęgi podstawę przepisujemy, a wykładniki mnożymy

[tex](a^m)^n=a^{m\cdot n}[/tex]

Jeśli w wykładniku potęgi znajduje się minus to usuwamy go przez

odwrócenie liczby ,która jest w podstawie potęgi

[tex]a^{-m}=(\frac{1}{a})^m\\\\5^{-3}=(\frac{1}{5})^3[/tex]