Question

Dla jakich wartości parametru m równanie [tex]-x^{2}[/tex] + (2m - 2)x + [tex]m^{2}[/tex] - 2m = 0 ma dwa różne pierwiastki ujemne?

Answer 1

m ∈ [tex](0, \frac{2-\sqrt2}{2} )[/tex]

Równanie kwadratowe z parametrem

Z zadania wiemy, że równanie musi mieć dwa pierwiastki ujemne (czyli miejsca zerowe). Jeżeli ta funkcja ma mieć dwa pierwiastki to delta musi być większa od zera. Aby te pierwiastki były ujemne, skorzystamy z wzorów Viete'a:

[tex]x_1+x_2=\frac{-b}{a}[/tex]

Suma liczb ujemnych jest liczbą ujemną, więc to założenie zapiszemy jako:

[tex]\frac{-b}{a} < 0[/tex]

[tex]x_1*x_2=\frac{c}{a}[/tex]

Iloczyn liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, więc to założenie zapiszemy jako:

[tex]\frac{c}{a } > 0[/tex]

Zapiszmy te trzy założenia:

[tex]\Delta > 0\\\\\frac{-b}{a} < 0 \\\\\frac{c}{a} > 0[/tex]

I. Obliczmy deltę:

[tex]\Delta=b^2-4ac\\\Delta=(2m-2)^2-4*(-1)*(m^2-2m)\\\Delta=4m^2-8m+4+4m^2-8m\\\Delta=8m^2-16m+4[/tex]

Wiemy, że delta musi być większa od zera:

[tex]8m^2-16m+4 > 0|:4\\2m^2-4m+1 > 0\\\\\Delta=16-4*2*1=8\\\sqrt{\Delta}=2\sqrt2\\ \\m_1=\frac{4+2\sqrt2}{4}=\frac{2+\sqrt2}{2}\\ m_2=\frac{4-2\sqrt2}{4}=\frac{2-\sqrt2}{2}\\[/tex]

Zaznaczamy miejsca zerowe na i rysujemy wykres funkcji, pamiętając, że ramiona tej funkcji są skierowane do góry. Teraz odczytujemy dla jakich "m" funkcja przyjmuje wartości większe niż 0. Będzie to przedział:

m ∈ [tex](-\infty,\frac{2-\sqrt2}{2})\cup(\frac{2+\sqrt2}{2}, +\infty)[/tex]

To przedział z pierwszego założenia. Dla późniejszych obliczeń musimy oszacować ile wynosi w przybliżeniu wartość skrajna tych przedziałów:

[tex]\frac{2-\sqrt2}{2}\approx0,293 \\\frac{2+\sqrt2}{2}\approx1,707[/tex]

II. Obliczmy przedział dla wyrażenia  [tex]\frac{-b}{a} < 0[/tex]

[tex]\frac{-b}{a} < 0\\\\\frac{-(2m-2)}{-1} < 0\\\\2m-2 < 0|+2\\2m < 2\\ m < 1[/tex]

m ∈ (-∞, 1)

To przedział z drugiego założenia.

III. Obliczmy przedział dla wyrażenia  [tex]\frac{c}{a} > 0[/tex]

[tex]\frac{c}{a} > 0\\\frac{m^2-2m}{-1} > 0\\-m^2+2m > 0\\-m(m-2) > 0[/tex]

Przyrównujemy wyrażenia do 0, aby obliczyć miejsca zerowe tej funkcji:

-m = 0

m = 0

m - 2 = 0

m = 2

Zaznaczamy miejsca zerowe na osi. Ta funkcja będzie miała ramiona skierowane do dołu. Odczytujemy z wykresu dla jakich "m" funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie:

m ∈ (0, 2)

To przedział z trzeciego założenia.

Zapiszmy te trzy przedziały:

I. [tex](-\infty,\frac{2-\sqrt2}{2})\cup(\frac{2+\sqrt2}{2}, +\infty)[/tex]

II. m ∈ (-∞, 1)

III. m ∈ (0, 2)

Musimy znaleźć część wspólną tych trzech przedziałów. Zaznaczmy te przedziały na osi (zobacz załącznik). Częścią wspólną i rozwiązaniem tego zadania będzie przedział:

m ∈ [tex](0, \frac{2-\sqrt2}{2} )[/tex]

#SPJ1