Zadanie1: Oblicz miarę największego kąta w trójkącie o bokoach 4[tex]\sqrt{19}[/tex] 12 i 8
zadanie 2 Oblicz iloczyn promienia okręgu wpisanego w trójkąt o bokach 12,13,15 oraz promienia okręgu opisanego na tym trójkącie
zadanie 2 Oblicz iloczyn promienia okręgu wpisanego w trójkąt o bokach 12,13,15 oraz promienia okręgu opisanego na tym trójkącie
Verified answer
Twierdzenie Cosinusów
W dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.
[tex]\huge\boxed{c^2=a^2+b^2-2ab \cos \gamma}[/tex]
Twierdzenie Sinusów
W dowolnym trójkącie, stosunek długości dowolnego boku do sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.
[tex]\huge\boxed{\dfrac{a}{sin\alpha}=\dfrac{b}{sin\beta}=\dfrac{c}{sin\gamma}=2R}[/tex]
Okrąg wpisany w trójkąt
Jeżeli znany jest promień okręgu opisanego na trójkącie, to promień kąta wpisanego obliczamy ze wzoru:
[tex]\huge\boxed{r=\dfrac{abc}{4Rp} \rightarrow p=\dfrac{a+b+c}2}[/tex]
Zadanie 1.
W trójkącie, największy kąt znajduje się zawsze na przeciwko najdłuższego boku.
Porównujemy długości boków:
[tex](4\sqrt{19})^2=304\\12^2=144\\8^2=64[/tex]
[tex]304 > 144 > 64[/tex]
Wniosek: Bok o długości 4√19 jest najdłuższy.
Miarę kąta wyznaczamy korzystając z Twierdzenia Cosinusów:
[tex]\begin{array}{lll}(4\sqrt{19})^2=12^2+8^2-2\cdot 12\cdot 8\cdot \cos \gamma\\\\304=144+64-192\cos\gamma\\\\304=208-192\cos\gamma&|&-208\\\\96=-192\cos\gamma&|&:(-192)\\\\cos\gamma=\dfrac{96}{-192}\\\\\cos\gamma=-\dfrac12\end{array}[/tex]
Wiemy, że funkcja cosinus przyjmuje wartości ujemne w II ćwiartce układu współrzędnych, zatem kąt γ jest kątem rozwartym.
Miarę kąta γ wyznaczamy korzystając ze wzoru redukcyjnego:
[tex]\cos\gamma=cos(90^\circ+x)=-\dfrac12[/tex]
[tex]cos(90^\circ+x)=-sinx\\\\-sinx=-\dfrac12\\\\sinx=\dfrac12\\\\x=30^\circ\\\\\gamma=90^\circ+30^\circ\\\\\underline{\bold{\gamma=120^\circ}}[/tex]
Zadanie 2.
Oblicz iloczyn promienia okręgu wpisanego w trójkąt o bokach 12,13,15 oraz promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Obliczamy miarę najdłuższego kąta tego trójkąta z Twierdzenia Cosinusów.
[tex]\begin{array}{lll}15^2=12^2+13^2-2\cdot 12\cdot 13\cdot \cos\gamma\\\\225=144+169-312\cos\gamma\\\\225=313-312\cos\gamma&|&-313\\\\-88=-312cos\gamma&|&:(-312)\\\\cos\gamma=\dfrac{88}{312}\\\\\cos\gamma=\dfrac{11}{39}\\\\\\cos\gamma\approx0,2821\end{array}[/tex]
Przybliżoną miarę kąta γ odczytujemy z tablic wartości funkcji trygonometrycznych
[tex]\gamma=74^\circ[/tex]
Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie obliczamy z Twierdzenia Sinusów:
[tex]\dfrac{15}{sin74^\circ}=2R\\\\\dfrac{15}{0,9613}=2R\\\\15,60=2R\\\\\underline{\bold{R=7,8}}[/tex]
Obliczamy długość promienia wpisanego:
[tex]p=\dfrac{12+13+15}2\\\\p=20\\\\r=\dfrac{12\cdot 13\cdot 15}{4\cdot 7,8\cdot 20}\\\\r=\dfrac{3\cdot 13\cdot 3}{7,8\cdot 4}\\\\r=\dfrac{117}{31,2}\\\\\underline{\bold{r=3,75}}[/tex]
Obliczamy iloczyn długości promieni:
[tex]Rr=7,8\cdot 3,75\\\\\underline{\bold{Rr=29,25}}[/tex]