Question

~QUIZ~
.
Soal:
Tentukan hasil penjumlahan dari semua bilangan bulat x yang memenuhi [tex]\frac{(3x^{2} - 4x + 1)\sqrt{5 - x} }{(x^{2} + x + 1)\sqrt{x + 1} }[/tex] ≤ 0!
.
Syarat untuk menjawab soal :
● Dilarang jawaban berupa komentar spam atau asal²an.
● Dilarang copas jawaban dari google.
● Jawabannya harus disertai dengan penjelasan yang masuk akal.
● Gunakanlah kata-kata jawabanmu sendiri yang baik dan benar.

Answer 1

Hasil penjumlahan dari semua bilangan bulat [tex]x[/tex] yang memenuhi pertidaksamaan
[tex]\begin{aligned}\frac{(3x^2-4x+1)\sqrt{5-x}}{(x^2+x+1)\sqrt{x+1}}\ \le\ 0\end{aligned}[/tex]
adalah 6.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita akan menentukan hasil penjumlahan dari semua bilangan bulat [tex]x[/tex] yang memenuhi pertidaksamaan

[tex]\begin{aligned}\frac{(3x^2-4x+1)\sqrt{5-x}}{(x^2+x+1)\sqrt{x+1}}\ \le\ 0\end{aligned}[/tex]

Dari penyebut fungsi rasional pada ruas kiri, karena yang dicari adalah [tex]x[/tex] bilangan bulat, dan bilangan bulat ⊂ bilangan real, [tex]x[/tex] harus memenuhi:
x² + x + 1 ≠ 0  dan  √(x + 1) > 0

• x² + x + 1 > 0  ⇒ setiap x ∈ ℝ memenuhi.
  Maka, setiap bilangan bulat x juga memenuhi.
• x² + x + 1 < 0  ⇒ tidak ada solusi untuk x ∈ ℝ.
  Maka, tidak ada bilangan bulat x yang memenuhi.
• √(x + 1) > 0  ⇒  x > –1.

Jadi, dengan x ∈ bilangan bulat dan x > –1, penyebutnya pasti positif, sehingga:

[tex]\begin{aligned}&(3x^2-4x+1)\sqrt{5-x}\ \le\ 0\\&{\Rightarrow\ }(3x-1)(x-1)\sqrt{5-x}\ \le\ 0\\&{\Rightarrow\ }{\sf Titik\ kritis:}\\&\quad\ \bullet\ 3x-1=0\ \ \Rightarrow\ x=\frac{1}{3}\\&\quad\ \bullet\ x-1=0\quad\,\Rightarrow\ x=1\\&\quad\ \bullet\ \sqrt{5-x}=0\ \Rightarrow\ x=5\end{aligned}[/tex]

Kita periksa interval, dengan memperhatikan bahwa x ∈ {1, 5} memenuhi pertidaksamaan, karena tanda pertidaksamaan adalah “≤”.

• Untuk –1 < x ≤ 1/3, terdapat bilangan bulat x = 0 yang tidak memenuhi pertidaksamaan, karena dengan x = 0, pembilang dan penyebut sama-sama positif.
• Untuk 1/3 < x < 1, tidak terdapat bilangan bulat.
• Untuk 1 < x < 5, penyebut pasti positif. Untuk pembilangnya:
  [tex]\begin{aligned}&(3x-1)(x-1)\sqrt{5-x}\\&=(+)(+)(+)\ =\ (+)\ > \ 0\end{aligned}[/tex]
  ⇒ 1 < x < 5 tidak memenuhi pertidaksamaan.
• Untuk x > 5, √(5 – x) bernilai imajiner.

Oleh karena itu, bilangan bulat [tex]x[/tex] yang memenuhi adalah 1 dan 5.

∴ Dengan demikian, hasil penjumlahan dari semua bilangan bulat x yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah 1 + 5 = 6.
[tex]\blacksquare[/tex]