Question

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3,-1) , (5,3) dan (6,2) kemudian tentukan pula pusat dan jari-jari lingkaran.

Answer 1

Penyelesaian :

Persamaan lingkaran adalah x² + y² + ax + by + c = 0

Melalui (3,-1) maka ;
        x² + y² + ax + by + c = 0
3² + (-1)² + a.3 + b.(-1) + c = 0
             9 + 1 + 3a - b + c = 0
                 3a - b + c + 10 = 0 .......... (1)

Melalui (5,3) maka ;
  x² + y² + ax + by + c = 0
5² + 3² + a.5 + b.3 + c = 0
  25 + 9 + 5a + 3b + c = 0
        5a + 3b + c + 34 = 0 .......... (2)

Melalui (6,2) maka ;
x² + y² + ax + by + c = 0
6² + 2² + 6a + 2b + c = 0
36 + 4 + 6a + 2b + c = 0
      6a + 2b + c + 40 = 0 .......... (3)

Dari persamaan (1) dan (2) :
    3a - b + c + 10 = 0
 5a + 3b + c + 34 = 0     
  -2a - 4b + 0 - 24 = 0
        a + 2b + 12 = 0 .......... (4)

Dari persamaan (2) dan (3) :
 5a + 3b + c + 34 = 0
 6a + 2b + c + 40 = 0     
            -a + b - 6 = 0 
             a - b + 6 = 0 .......... (5)

Dari persamaan (4) dan (5) :
a + 2b + 12 = 0
    a - b + 6 = 0     
       3b + 6 = 0
               b = -2

b = -2 disubstitusikan ke persamaan (5) :
 a - b + 6 = 0
a + 2 + 6 = 0
      a + 8 = 0
            a = -8

a = -8 , b = -2 disubstitusikan ke persamaan (1) :
        3a - b + c + 10 = 0
3(-8) - (-2) + c + 10 = 0
      -24 + 2 + c + 10 = 0
                             c = 12

Jadi persamaan lingkaran adalah :
x² + y² + ax + by + c = 0
x² + y² - 8x - 2y + 12 = 0

Maka diperoleh :
2A = -8           2B = -2           C = 12
  A = -4            B = -1
 
r = √A² + B² - C
  = √(-4)² + (-1)² - 12
  = √16 + 1 - 12 = √5

Jadi, pusat (-A,-B) = (4,1) dan jari-jari r = √5