Cari solusi homogen: y_h. Solusi homogen diperoleh dengan mengabaikan konstanta dalam persamaan dan menyelesaikan persamaan karakteristik terkait. Persamaan karakteristiknya adalah m - 3 = 0, sehingga akar karakteristiknya adalah m = 3.
Oleh karena itu, solusi homogennya adalah y_h = C * e^(3x), di mana C adalah konstanta.
Cari solusi partikular: y_p. Solusi partikular dapat dicari dengan menggunakan metode pemisalan umum. Karena persamaan tidak memiliki komponen khusus (misalnya, fungsi polinomial), kita bisa mencoba dengan pemisalan umum y_p = A, di mana A adalah konstanta yang akan ditentukan.
Substitusikan pemisalan umum ke dalam persamaan diferensial:
y' - 3y + 12 = 0
0 - 3A + 12 = 0
-3A = -12
A = 4
Sehingga, solusi partikularnya adalah y_p = 4.
Gabungkan solusi homogen dan solusi partikular:
y = y_h + y_p
= C * e^(3x) + 4.
Gunakan kondisi awal y(2) = 1 untuk mencari nilai konstanta C:
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear orde satu y' - 3y + 12 = 0 dengan syarat awal y(2) = 1, kita dapat menggunakan metode pemisalan variabel.
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
1Mempisahkan variabel untuk mendapatkan persamaan dalam bentuk umum: y' = 3y - 12.
2.Memisalkan y = e^(mx) sebagai pemisalan variabel, di mana m adalah k.onstanta yang akan ditentukan.
3.Menghitung turunan pertama dari y dengan menggunakan pemisalan variabel: y' = me^(mx).
4.Menggantikan y dan y' dalam persamaan umum dengan hasil dari pemisalan variabel: me^(mx) = 3e^(mx) - 12.
5.Membagi kedua ruas persamaan dengan e^(mx): m = 3 - 12e^(-mx).
6.Mengambil logaritma natural (ln) dari kedua ruas persamaan: ln(m) = ln(3 - 12e^(-mx)).
7.Menyelesaikan persamaan ini untuk m dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.
8.Setelah mendapatkan nilai m, kita dapat menentukan solusi umum y(x) dengan menggunakan pemisalan variabel semula: y(x) = Ce^(mx), di mana C adalah konstanta yang akan ditentukan.
9.Menentukan nilai konstanta C dengan menggunakan syarat awal y(2) = 1. Substitusikan nilai x = 2 dan y = 1 ke dalam solusi umum, kemudian selesaikan untuk C.
10.Setelah nilai C ditemukan, substitusikan kembali ke dalam solusi umum y(x) untuk mendapatkan penyelesaian akhir.
Jawaban:
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
Tulis persamaan diferensial: y' - 3y + 12 = 0.
Cari solusi homogen: y_h. Solusi homogen diperoleh dengan mengabaikan konstanta dalam persamaan dan menyelesaikan persamaan karakteristik terkait. Persamaan karakteristiknya adalah m - 3 = 0, sehingga akar karakteristiknya adalah m = 3.
Oleh karena itu, solusi homogennya adalah y_h = C * e^(3x), di mana C adalah konstanta.
Cari solusi partikular: y_p. Solusi partikular dapat dicari dengan menggunakan metode pemisalan umum. Karena persamaan tidak memiliki komponen khusus (misalnya, fungsi polinomial), kita bisa mencoba dengan pemisalan umum y_p = A, di mana A adalah konstanta yang akan ditentukan.
Substitusikan pemisalan umum ke dalam persamaan diferensial:
y' - 3y + 12 = 0
0 - 3A + 12 = 0
-3A = -12
A = 4
Sehingga, solusi partikularnya adalah y_p = 4.
Gabungkan solusi homogen dan solusi partikular:
y = y_h + y_p
= C * e^(3x) + 4.
Gunakan kondisi awal y(2) = 1 untuk mencari nilai konstanta C:
y(2) = C * e^(3*2) + 4 = 1
C * e^6 + 4 = 1
C * e^6 = -3
C = -3 / e^6
Sehingga, penyelesaian persamaan diferensial adalah:
y = (-3 / e^6) * e^(3x) + 4.
Demikianlah penyelesaian persamaan diferensial linear orde satu y' - 3y + 12 = 0 dengan kondisi awal y(2) = 1
Penjelasan dengan langkah-langkah:
#tarakan
Jawab:
Menggunakan Perangkat Lunak Komputasi yaa
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear orde satu y' - 3y + 12 = 0 dengan syarat awal y(2) = 1, kita dapat menggunakan metode pemisalan variabel.
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
1Mempisahkan variabel untuk mendapatkan persamaan dalam bentuk umum: y' = 3y - 12.
2.Memisalkan y = e^(mx) sebagai pemisalan variabel, di mana m adalah k.onstanta yang akan ditentukan.
3.Menghitung turunan pertama dari y dengan menggunakan pemisalan variabel: y' = me^(mx).
4.Menggantikan y dan y' dalam persamaan umum dengan hasil dari pemisalan variabel: me^(mx) = 3e^(mx) - 12.
5.Membagi kedua ruas persamaan dengan e^(mx): m = 3 - 12e^(-mx).
6.Mengambil logaritma natural (ln) dari kedua ruas persamaan: ln(m) = ln(3 - 12e^(-mx)).
7.Menyelesaikan persamaan ini untuk m dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.
8.Setelah mendapatkan nilai m, kita dapat menentukan solusi umum y(x) dengan menggunakan pemisalan variabel semula: y(x) = Ce^(mx), di mana C adalah konstanta yang akan ditentukan.
9.Menentukan nilai konstanta C dengan menggunakan syarat awal y(2) = 1. Substitusikan nilai x = 2 dan y = 1 ke dalam solusi umum, kemudian selesaikan untuk C.
10.Setelah nilai C ditemukan, substitusikan kembali ke dalam solusi umum y(x) untuk mendapatkan penyelesaian akhir.