Question

TENTUKAN NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM Z = 16X - 2Y + 40 PADA HIMPUNAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN :
3X + 2Y ≤ 36.000
X + 2Y ≤ 20.000
X ≥ 0
Y ≥ 0

TOLONG BANGET KAK, PAKAI CARA NYA YANG JELAS DAN LENGKAP YAA, TERIMAKASIH​

Answer 1

• Nilai maksimum z = 16x – 2y + 40 adalah 192.040, untuk x = 12.000 dan y = 0.
• Nilai minimum z = 16x – 2y + 40 adalah –19.960, untuk x = 0 dan y = 10.000.

 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Fungsi Objektif dengan Kendala/Batasan

Diketahui:

• Fungsi objektif:
  z = 16x – 2y + 40
• Kendala dirumuskan dalam himpunan pertidaksamaan:
  {3x + 2y ≤ 36.000, x + 2y ≤ 20.000, x ≥ 0, x ≥ 0}

Ditanyakan:

• Nilai maksimum dan minimum dari z.

Penyelesaian:

Nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif dapat dievaluasi dari titik-titik pojok himpunan pertidaksamaan yang membatasi daerah penyelesaian. Akan lebih baik jika dibuat sketsanya terlebih dahulu. Tetapi, tanpa membuat sketsanya pun tidak apa-apa, asalkan kita memperhatikan faktor kemiringan garis batas, dan dapat menentukan titik-titik pojok daerah penyelesaian yang perlu dievaluasi.

Identifikasi Titik Pojok

Kendala pertama: 3x + 2y ≤ 36.000

• Titik potong dengan sumbu X (y = 0):
  3x = 36.000 ⇔ x = 12.000
  ⇒ A(12.000, 0)
• Titik potong dengan sumbu Y (x = 0):
  2y = 36.000 ⇔ y = 18.000
  ⇒ B(0, 18.000)

Perhatikan bahwa gradien garis 3x + 2y = 36.000 adalah –3/2, sedangkan gradien garis x + 2y = 20.000 adalah –1/2. Maka, garis batas kendala pertama ini lebih curam menurun (dari arah kiri ke kanan) dibanding garis batas kendala kedua.

Oleh karena itu, titik pojok daerah penyelesaian adalah titik potong garis batasnya dengan sumbu X, yaitu:
A(12.000, 0)

Kendala kedua: x + 2y ≤ 20.000

• Titik potong dengan sumbu X (y = 0):
  x = 20.000
  ⇒ C(30.000, 0)
• Titik potong dengan sumbu Y (x = 0):
  2y = 20.000 ⇔ y = 10.000
  ⇒ D(0, 10.000)

Kita perhatikan lagi uraian tentang kemiringan kedua garis batas di atas. Dapat disimpulkan bahwa titik pojok daerah penyelesaian adalah dari kendala ini adalah titik potong antara garis batasnya dengan sumbu Y, yaitu:
D(0, 10.000)

Kemudian, kita tentukan titik potong kedua garis batas.

3x + 2y = 36.000
⇔ 2y = 36.000 – 3x
Substitusikan 2y ke dalam persamaan garis batas kendala kedua.
x + 2y = 20.000
⇔ x + 36.000 – 3x = 20.000
⇔ x – 3x = 20.000 – 36.000
⇔ –2x = –16.000
⇔ x = 8.000
Substitusikan nilai x ke dalam persamaan garis batas kendala kedua.
x + 2y = 20.000
⇔ 8.000 + 2y = 20.000
⇔ 2y = 12.000
⇔ y = 6.000

Maka, titik pojok perpotongan kedua garis batas adalah:
E(8.000, 6.000)

Lalu, jangan lupakan titik pojok perpotongan dari garis x = 0 dan y = 0, yaitu O(0, 0).

Jadi, terdapat 4 titik pojok yang akan dievaluasi nilainya, yaitu:
O(0, 0), A(12.000, 0), D(0, 10.000), dan E(8.000, 6.000).

Evaluasi Nilai Fungsi Objektif

Pada titik O(0, 0):
z = 16x – 2y + 40
⇔ z = 40

Pada titik A(12.000, 0):
z = 16x – 2y + 40
⇔ z = 16·12.000 – 0 + 40
⇔ z = 192.000 + 40
⇔ z = 192.040

Pada titik D(0, 10.000):
z = 16x – 2y + 40
⇔ z = 0 – 2·10.000 + 40
⇔ z = –20.000 + 40
⇔ z = –19.960

Pada titik E(8.000, 6.000):
z = 16x – 2y + 40
⇔ z = 16·8.000 – 2·6.000 + 40
⇔ z = 128.000 – 12.000 + 40
⇔ z = 116.000 + 40
⇔ z = 116.040

Oleh karena itu,

• nilai maksimum z = 192.040, dan
• nilai minimum z = –19.960.

KESIMPULAN

• Nilai maksimum z = 16x – 2y + 40 adalah 192.040, untuk x = 12.000 dan y = 0.
• Nilai minimum z = 16x – 2y + 40 adalah –19.960, untuk x = 0 dan y = 10.000.