Nilai karakteristik dari matriks B adalah λ = –1 dan λ = 5.
Vektor karakteristik dari matriks B adalah:
Untuk λ = –1: [tex]X=\begin{bmatrix}-2t\\t\end{bmatrix}=t\begin{bmatrix}\bf{-}2\\\bf1\end{bmatrix}[/tex]
Untuk λ = 5: [tex]X=\begin{bmatrix}t\\t\end{bmatrix}=t\begin{bmatrix}\bf1\\\bf1\end{bmatrix}[/tex]
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Nilai Karakteristik dan Vektor Karakteristik
Jika A adalah matriks persegi n×n, maka vektor tidak-nol X di [tex]\sf R^n[/tex] disebut vektor karakteristik (vektor eigen) dari A, jika memenuhi AX = λX.
Sedangkan λ adalah nilai skalar yang disebut nilai karakteristik (nilai eigen).
Untuk mencari nilai karakteristik dari sebuah matriks, kita gunakan persamaan karakteristik: det(λI – A) = 0 atau det(A – λI) = 0.
Nilai karakteristik dari matriks B adalah λ = –1 dan λ = 5.
Vektor karakteristik dari matriks B adalah:
[tex]X=\begin{bmatrix}-2t\\t\end{bmatrix}=t\begin{bmatrix}\bf{-}2\\\bf1\end{bmatrix}[/tex]
[tex]X=\begin{bmatrix}t\\t\end{bmatrix}=t\begin{bmatrix}\bf1\\\bf1\end{bmatrix}[/tex]
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Nilai Karakteristik dan Vektor Karakteristik
Jika A adalah matriks persegi n×n, maka vektor tidak-nol X di [tex]\sf R^n[/tex] disebut vektor karakteristik (vektor eigen) dari A, jika memenuhi AX = λX.
Sedangkan λ adalah nilai skalar yang disebut nilai karakteristik (nilai eigen).
Untuk mencari nilai karakteristik dari sebuah matriks, kita gunakan persamaan karakteristik:
det(λI – A) = 0 atau det(A – λI) = 0.
Pada soal diberikan matriks:
[tex]B=\begin{bmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{bmatrix}[/tex]
a. Menentukan Nilai Karakteristik
[tex]\begin{aligned}\lambda I-B&=\lambda\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}\lambda-1 & -4\\ -2 & \lambda-3\end{bmatrix}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}\det(\lambda I-B)&=0\\\begin{vmatrix}\lambda-1 & -4\\ -2 & \lambda-3\end{vmatrix}&=0\\(\lambda-1)(\lambda-3)-8&=0\\\lambda^2-4\lambda-5&=0\\(\lambda+1)(\lambda-5)&=0\\\therefore\ \lambda={\bf{-}1},\ \lambda&=\bf5\end{aligned}[/tex]
Jadi, nilai-nilai karakteristik (nilai-nilai eigen/eigenvalues) dari matriks B adalah:
λ = –1 dan λ = 5.
b. Menentukan Vektor Karakteristik
[tex]\begin{aligned}(\lambda I-B)X&=0\\\begin{bmatrix}\lambda-1 & -4\\ -2 & \lambda-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}&=0\\\end{aligned}[/tex]
Untuk λ = –1:
[tex]\begin{aligned}\begin{bmatrix}-2 & -4\\ -2 & -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}&=0\\\end{aligned}[/tex]
Kita bisa menyelesaikan dengan metode penyelesaian SPL “biasa” atau dengan matriks.
Pakai metode “biasa” saja, karena perkaliannya menghasilkan 2 baris yang sama.
–2x₁ – 4x₂ = 0
⇒ x₁ + 2x₂ = 0
⇒ x₁ = –2x₂
Ambil x₂ = t.
⇒ x₁ = –2t
Maka, vektor karakteristik dari matriks B untuk λ = –1 adalah:
[tex]X=\begin{bmatrix}-2t\\t\end{bmatrix}=t\begin{bmatrix}\bf{-}2\\\bf1\end{bmatrix}[/tex]
Basis ruang eigen untuk λ = –1 adalah:
[tex]\begin{bmatrix}\bf{-}2\\\bf1\end{bmatrix}[/tex]
Untuk λ = 5:
[tex]\begin{aligned}\begin{bmatrix}4 & -4\\ -2 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}&=0\\\end{aligned}[/tex]
⇒ x₁ = x₂
⇒ x₁ = x₂
Ambil x₂ = t.
⇒ x₁ = t
Maka, vektor karakteristik dari matriks B untuk λ = 5 adalah:
[tex]X=\begin{bmatrix}t\\t\end{bmatrix}=t\begin{bmatrix}\bf1\\\bf1\end{bmatrix}[/tex]
Basis ruang eigen untuk λ = 5 adalah:
[tex]\begin{bmatrix}\bf1\\\bf1\end{bmatrix}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]