Question

● Tentukan nilai b = ...​

Answer 1

b = 5 PembahasanPolinomialJika [tex]p(x)=x^4+4x^3+6ax^2+4bx+c[/tex] dibagi [tex]x^3+3x^2+9x+3[/tex] bersisa [tex]cx+b[/tex], maka berlaku:[tex]\boxed{\ p(x)=\left(x^3+3x^2+9x+3\right)h(x)+cx+b\ }[/tex]dengan [tex]h(x)[/tex] adalah hasil baginya.Persamaan tersebut ekuivalen dengan [tex]p(x)-cx-b=\left(x^3+3x^2+9x+3\right)h(x)[/tex], sehingga:[tex]\begin{aligned}&x^4+4x^3+6ax^2+4bx+c-cx-b\\&{=\ }\left(x^3+3x^2+9x+3\right)h(x)\\{\Rightarrow\ }&x^4+4x^3+6ax^2+(4b-c)x+c-b\\&{=\ }\left(x^3+3x^2+9x+3\right)h(x)\\\end{aligned}[/tex]yang berarti [tex]x^3+3x^2+9x+3[/tex] merupakan faktor dari [tex]x^4+4x^3+6ax^2+(4b-c)x+c-b[/tex].Mari kita faktorkan.[tex]\begin{aligned}&x^4+4x^3+6ax^2+(4b-c)x+c-b\\&{=\ }\left(x^3+3x^2+9x+3\right)x\\&{\quad}+x^3+(6a-9)x^2+(4b-c-3)x+c-b\\\end{aligned}[/tex]Perhatikan [tex]x^3+(6a-9)x^2+(4b-c-3)x+c-b[/tex].Karena [tex]x^3+3x^2+9x+3[/tex] merupakan faktor, dan koefisien [tex]x^3[/tex] pada [tex]x^3+(6a-9)x^2+(4b-c-3)x+c-b[/tex] sama dengan koefisien [tex]x^3[/tex] pada [tex]x^3+3x^2+9x+3[/tex] yaitu 1, maka:[tex]\begin{aligned}&x^3+(6a-9)x^2+(4b-c-3)x+c-b\\{=\ }&x^3+3x^2\qquad\ \ \ +9x\qquad\qquad\ \ +3\end{aligned}[/tex]Memperhatikan kesamaan koefisien dan konstanta pada kedua ruas, kita memperoleh sistem persamaan linier:[tex]\begin{cases}6a-9=3&...(i)\\\\4b-c-3=9\\\Rightarrow 4b-c=12&...(ii)\\\\c-b=3\\\Rightarrow c=b+3&...(iii)\end{cases}[/tex]Substitusi (iii) ke (ii), kita memperoleh:[tex]\begin{aligned}&4b-(b+3)=12\\&\Rightarrow 3b-3=12\\&\Rightarrow 3b=15\\&\Rightarrow \boxed{\bf b=5\ }\end{aligned}[/tex] KESIMPULAN∴  b = 5 ___________________ PemeriksaanDengan b = 5, maka c = 8, dan dari sistem persamaan linier di atas dapat juga disimpulkan bahwa a = 2.Substitusi nilai a, b, dan c ke p(x).[tex]\implies p(x)=x^4+4x^3+12x^2+20x+8[/tex]Substitusi nilai b dan c ke sisanya.[tex]\implies {\sf Sisa}=8x+5[/tex]Dari pemfaktoran di atas, dapat kita tentukan pula bahwa [tex]h(x) = x+1[/tex].Oleh karena itu:[tex]\implies p(x)=\left(x^3+3x^2+9x+3\right)(x+1)+8x+5[/tex]Akibatnya [tex]p(-1) = 8(-1)+5=-3[/tex].Mari kita buktikan.[tex]\begin{aligned}p(-1)&=(-1)^4+4(-1)^3+12(-1)^2+20(-1)+8\\\Rightarrow-3&=1-4+12-20+8\\\Rightarrow-3&=-3-8+8\\\Rightarrow\bf{-}3&=\bf{-}3\qquad\blacksquare\end{aligned}[/tex]⇒ terbukti benar 

Answer 2

polinomialp(x) = x⁴ + 4x³ + 6ax² + 4bx + cpembagi r(x) = x³ + 3x² + 9x + 3p(x) = h(x) . r(x) + s(x)h(x) = hasil bagis(x) = sisa bagibagi bersusunp(x) / r(x)= (x⁴ + 4x³ + 6ax² + 4bx + c) / (x³ + 3x² + 9x + 3)= (x + 1) sisa (6a - 12)x² + (4b - 12)x + (c - 3)sisa = cx + bsisa = (6a - 12)x² + (4b - 12)x + (c - 3)kesamaan letakc = 4b - 12b = c - 3c = c4b - 12 = b + 34b - b = 12 + 33b = 15b = 5