tentukan limit dari soal di atas!.... Question from @asmayantisiti

August 2022 1 16 Report

tentukan limit dari soal di atas!

$\begin{aligned}\sf a.\ \ &\lim_{x\to2}\:\frac{\left(x^2-4\right)(x-2)}{x^2-4x+4}\\&=\boxed{\:\bf4\:}\\\textsf{-----}&\textsf{------------------------------------------------------}\\\sf b.\ \ &\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x(x-3)}-\sqrt{(2x-2)(2x+1)}\right)\\&=\boxed{\:\bf-\frac{5}{2}\:}\\\textsf{-----}&\textsf{------------------------------------------------------}\end{aligned}$

Pembahasan

Limit

Soal a.

$\begin{aligned}&\lim_{x\to2}\:\frac{\left(x^2-4\right)(x-2)}{x^2-4x+4}\\{=\ }&\lim_{x\to2}\:\frac{(x+2)\cancel{(x-2)(x-2)}}{\cancel{(x-2)(x-2)}}\\{=\ }&\lim_{x\to2}\:(x+2)\\{=\ }&2+2=\boxed{\:\bf4\:}\end{aligned}$
$\blacksquare$

Soal b.

$\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x(x-3)}\:-\:\sqrt{(2x-2)(2x+1)}\right)\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2-12x}\:-\:\sqrt{4x^2-2x-2}\right)\quad...(i)\end{aligned}$

Untuk bentuk seperti ini, kita dapat menggunakan “rumus cepat”, atau dengan mengalikan bentuk tersebut dengan bentuk sekawannya.

Cara Pertama: Dengan “rumus cepat“

$\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{ax^2+bx+c}\:-\:\sqrt{px^2+qx+r}\right)\\&=\begin{cases}\:\boxed{\:\frac{b-q}{2\sqrt{a}}\:}&{\sf untuk}\ a=p\\\:\boxed{-\infty}&{\sf untuk}\ a < p\\\:\boxed{+\infty\ {\sf atau}\ \infty}&{\sf untuk}\ a > p\end{cases}\end{aligned}$

Dari $(i)$ : $a=4,\ b=-12,\ c=0,\ p=4,\ q=-2,\ r=-2$

Cara Kedua: Dengan Mengalikan dengan Bentuk Sekawan

$\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x(x-3)}\:-\:\sqrt{(2x-2)(2x+1)}\right)\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2-12x}\:-\:\sqrt{4x^2-2x-2}\right)\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2-12x}\:-\:\sqrt{4x^2-2x-2}\right)\left(\frac{\sqrt{4x^2-12x}\:+\:\sqrt{4x^2-2x-2}}{\sqrt{4x^2-12x}\:+\:\sqrt{4x^2-2x-2}}\right)\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\:\frac{4x^2-12x-\left(4x^2-2x-2\right)}{\sqrt{4x^2-12x}\:+\:\sqrt{4x^2-2x-2}}\end{aligned}$
$\begin{aligned}{=\ }&\lim_{x\to\infty}\:\frac{-10x+2}{\sqrt{4x^2-12x}\:+\:\sqrt{4x^2-2x-2}}\cdot\frac{1/x}{1/x}\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\:\frac{\left(-10+\dfrac{2}{x}\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{4x^2-12x}}{x}\:+\:\dfrac{\sqrt{4x^2-2x-2}}{x}\right)}\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\:\frac{\left(-10+\dfrac{2}{x}\right)}{\left(\sqrt{\dfrac{4x^2-12x}{x^2}}\:+\:\sqrt{\dfrac{4x^2-2x-2}{x^2}}\right)}\end{aligned}$
$\begin{aligned}{=\ }&\lim_{x\to\infty}\:\frac{\left(-10+\dfrac{2}{x}\right)}{\left(\sqrt{4-\dfrac{12}{x}}\:+\:\sqrt{4-\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x^2}}\right)}\\{=\ }&\frac{-10+0}{\sqrt{4-0}+\sqrt{4-0-0}}=\frac{-10}{2+2}=\frac{-10}{4}\\{=\ }&\boxed{\:\bf{-}\frac{5}{2}\:}\end{aligned}$
$\blacksquare$