Question

Tentukan jarak terdekat antara parabola y= x²+1 dan garis y= ½x​

Answer 1

Jawab:

[tex]\frac38\sqrt5[/tex]

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk mencari jarak yang paling dekat, mari kita buat sebuah garis yang tegak lurus dengan [tex]\frac12x[/tex] yang menyinggung parabola [tex]y=x^2+1[/tex]

Perhatikan bahwa kita ingin mencari nilai c untuk:

[tex]y=mx+c[/tex]

m kita ambil [tex]\frac12[/tex] agar tegak lurus dengan [tex]y=\frac12x[/tex]

[tex]y=\frac12x+c[/tex]

Karena kita ingin mencari c nya, kita langsung samadengankan saja dengan parabolanya.

[tex]y=y[/tex]

[tex]\frac12x+c=x^2+1[/tex]

[tex]x^2-\frac12x+1-c=0[/tex]

Karena kita ingin supaya menyinggung, kita buat diskriminanya = 0.

[tex](-\frac12)^2-4(1)(1-c)=0[/tex]

[tex]\frac14=4(1-c)[/tex]

[tex]c=\frac{15}{16}[/tex]

Jadi, persamaan garis lurus untuk garis yang sejajar dengan parabola adalah:

[tex]y=\frac12x+\frac{15}{16}[/tex]

Selanjutnya artinya, kita ingin mencari garis yang tegak lurus yang mengenai titik temu parabola dengan garis sejajar tadi. Perhatikan bahwa kita harus mencari titik temunya.

[tex]y=y[/tex]

[tex]\frac12x+\frac{15}{16}=x^2+1[/tex]

Perhatikan bahwa solusi dari persamaan tersebut adalah:

[tex]x=\frac14[/tex]

Selanjutnya mari kita cari nilai y nya.

[tex]y=\frac12x+\frac{15}{16}=\frac12\cdot\frac14+\frac{15}{16}=\frac{17}{16}[/tex]

Disini kita akan cari nilai c untuk sebuah garis yang melintasi titik temu persamaan garis lurus [tex]\frac12x+\frac{15}{16}[/tex] dan titik [tex](\frac14, \frac{17}{16})[/tex].

Perhatikan bahwa garis ini merupakan garis yang tegak lurus, jadi nilai m nya adalah -2.

-2 didapatkan dari: [tex]m\cdot\frac12=-1[/tex]

y=mx+c

Subtitusi yang kita ketahui:

[tex]\frac{17}{16}=-2(\frac14)+c[/tex]

Didapatkan nilai c:

[tex]c=\frac{25}{16}[/tex]

Jadi garisnya adalah [tex]y=-2x+\frac{25}{16}[/tex]

Dari sini kita bisa mencari titik kedua. kita cari titik temu fungsi: [tex]y=-2x+\frac{25}{16}[/tex] dan [tex]y=\frac12x[/tex]

[tex]-2x+\frac{25}{16}=\frac12x[/tex]

kita dapat:

[tex]x=\frac58[/tex]

cari nilai y:

[tex]y=\frac12\cdot\frac58=\frac5{16}[/tex]

Kita dapat 2 titik yaitu: [tex](\frac14, \frac{17}{16})[/tex] dan [tex](\frac58,\frac5{16})[/tex]

Dengan menggunakan pythagoras bisa kita cari jarak kedua titik tersebut:

[tex]\sqrt{(\frac14-\frac58)^2+( \frac{17}{16}-\frac5{16})^2}=\frac38\sqrt5[/tex]

Jadi jarak terdekatnya adalah [tex]\frac38\sqrt5[/tex]

Answer 2

Jarak terdekat antara parabola y = x² + 1 dan garis y = ½x​ adalah (3/8)√5.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diberikan parabola y = x² + 1, kita akan menentukan jarak terdekat antara parabola tersebut dengan garis y = ½x.

Langkah 1
Cek Titik Potong

Substitusi y ← ½x pada parabola:
x² – ½x + 1 = 0
Diskriminan:
D = ¼ – 4 < 0
⇒ Tidak terdapat titik potong.

Atau pakai cara lain.
Titik minimum y = x² + 1 adalah (0, 1)
Garis y = ½x memotong sumbu koordinat (0, 0) dan bergradien kurang dari 2 (dari (x² + 1)' = 2x).
⇒ Maka, tidak terdapat titik potong.

Karena tidak terdapat titik potong, lanjutkan.

Langkah 2
Tentukan Titik Terdekat

Jarak terdekat dari kurva lengkung [tex]f(x)[/tex] ke garis lurus [tex]g[/tex] yang tidak memotongnya adalah jarak dari garis lurus tersebut ke titik singgung pada kurva [tex]f(x)[/tex] akibat singgungan oleh garis lurus [tex]h[/tex] yang paralel (sejajar) dengan garis [tex]g[/tex].

[tex]g[/tex] : y = ½x
⇒ [tex]m_g[/tex] = ½

Untuk garis [tex]h[/tex], tidak perlu mencari persamaan garisnya.
[tex]m_h = m_g = f'(x)[/tex] (dari kurva)
⇒ ½ = (x² + 1)’ = 2x
⇒ x = ¼

Ordinat titik singgung:
y = (¼)² + 1 = 17/16

Titik singgung yang kita cari:
(1/4, 17/16).

Langkah 3
Tentukan Jarak

Jarak dari titik [tex](x_1, y_1)[/tex] ke garis [tex]ax + by + c = 0[/tex] diberikan oleh:

[tex]\begin{aligned}d&=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{aligned}[/tex]

Dari garis lurus y = ½x atau ½x – y = 0:
a = ½, b = –1, c = 0.

Maka, jarak dari titik (1/4, 17/16) ke garis y = ½x yang merupakan jarak terdekat yang kita cari, adalah:

[tex]\begin{aligned}d&=\frac{\left|\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}-\dfrac{17}{16}\right|}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+(-1)^2}}\\&=\frac{\left|\dfrac{1}{8}-\dfrac{17}{16}\right|}{\sqrt{\dfrac{1}{4}+1}}\:=\:\frac{\left|-\dfrac{15}{16}\right|}{\sqrt{\dfrac{5}{4}}}\\&=\frac{15}{16}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}\:=\:\frac{3\sqrt{5}\cancel{\sqrt{5}}}{8}\cdot\frac{1}{\cancel{\sqrt{5}}}\\d&=\boxed{\,\bf\frac{3}{8}\sqrt{5}\,}\end{aligned}[/tex]

KESIMPULAN

∴ Dengan demikian, jarak terdekat antara parabola y = x² + 1 dan garis y = ½x​ adalah (3/8)√5.
[tex]\blacksquare[/tex]