tentukan hasil integral dibawah ini *tolong bantuannya :(
1) ∫ sin5t cos 5t dt
2) ∫ 2t sin 2t dt
3) ∫ 3t cos3t dt
4) ∫ t sin4t dt
mohon bantuannya yaa
1) ∫ sin5t cos 5t dt
2) ∫ 2t sin 2t dt
3) ∫ 3t cos3t dt
4) ∫ t sin4t dt
mohon bantuannya yaa
Jawab:
1) ∫ sin^5(t) cos(5t) dt:
Untuk menyelesaikan integral ini, kita dapat menggunakan substitusi trigonometri. Misalkan u = sin(t), maka du = cos(t) dt. Sehingga, dt = du / cos(t).
Dengan menggantikan dt dengan du / cos(t), integral menjadi:
∫ sin^5(t) cos(5t) dt = ∫ u^5 cos(5t) (du / cos(t))
= ∫ u^5 cos(5t) du
Karena cos(5t) dapat diekspresikan dalam bentuk u, yaitu cos(5t) = √(1 - u^2), maka integral menjadi:
∫ u^5 √(1 - u^2) du
Integral ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode substitusi lainnya atau metode integral parsial.
2) ∫ 2t sin(2t) dt:
Untuk menyelesaikan integral ini, kita dapat menggunakan metode integral parsial. Misalkan u = t dan dv = 2 sin(2t) dt, sehingga du = dt dan v = -cos(2t).
Menggunakan rumus integral parsial, integral menjadi:
∫ 2t sin(2t) dt = -t cos(2t) - ∫ (-cos(2t)) dt
= -t cos(2t) + ∫ cos(2t) dt
= -t cos(2t) + (1/2) sin(2t) + C
Di mana C adalah konstanta integrasi.
3) ∫ 3t cos(3t) dt:
Untuk menyelesaikan integral ini, kita dapat menggunakan metode integral parsial. Misalkan u = t dan dv = 3 cos(3t) dt, sehingga du = dt dan v = sin(3t).
Menggunakan rumus integral parsial, integral menjadi:
∫ 3t cos(3t) dt = t sin(3t) - ∫ sin(3t) dt
= t sin(3t) + (-1/3) cos(3t) + C
Di mana C adalah konstanta integrasi.
4) ∫ t sin(4t) dt:
Untuk menyelesaikan integral ini, kita dapat menggunakan metode integral parsial. Misalkan u = t dan dv = sin(4t) dt, sehingga du = dt dan v = (-1/4) cos(4t).
Menggunakan rumus integral parsial, integral menjadi:
∫ t sin(4t) dt = (-1/4) t cos(4t) - ∫ (-1/4) cos(4t) dt
= (-1/4) t cos(4t) + (1/16) sin(4t) + C
Di mana C adalah konstanta integrasi.