Question

tentukan : harga x1 ; x2 ; x3 dengan menggunakan metode cremer dari spl sbb

Answer 1

[tex]\boxed{\,\begin{aligned}x_1={\bf4}\,,\ x_2={\bf1}\,,\ x_3=\bf3\end{aligned}\,}[/tex]
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita akan menyelesaikan SPL:

[tex]\begin{cases}2x_1-\ \:x_2+3x_3=16 \\\ \:x_1+2x_2-\ \:x_3=3 \\3x_1-\ \;x_2+2x_3=17\end{cases}[/tex]
dengan metode Cramer.

Untuk itu, kita memerlukan:

• [tex]\det(A)[/tex], di mana [tex]A[/tex] adalah matriks koefisien ruas kiri.
• [tex]\det(A_n)[/tex], di mana [tex]A_n[/tex] adalah matriks A yang kolom ke-[tex]n[/tex]-nya (kolom untuk koefisien [tex]x_n[/tex]) bernilai ruas kanan persamaan.

Nilai dari setiap variabel dinyatakan oleh:

[tex]\begin{aligned}x_n&=\frac{\det(A_n)}{\det(A)}\end{aligned}[/tex]

Untuk menyelesaikan, anggap SPL tersebut konsisten.

[tex]\begin{aligned}\det(A)&=\begin{vmatrix}2 & -1 & 3 \\1 & 2 & -1 \\3 & -1 & 2\end{vmatrix}\\&=(2)(2)(2)+(-1)(-1)(3)+(3)(1)(-1)\\&\quad-(3)(2)(3)-(-1)(-1)(2)-(2)(1)(-1)\\&=8\,\cancel{+\,3-3}-18\,\cancel{-\,2+2}\\\det(A)&=\bf-10\end{aligned}[/tex]

[tex]\begin{aligned}\det(A_1)&=\begin{vmatrix}16 & -1 & 3 \\3 & 2 & -1 \\17 & -1 & 2\end{vmatrix}\\&=(16)(2)(2)+(-1)(-1)(17)+(3)(3)(-1)\\&\quad-(17)(2)(3)-(-1)(-1)(16)-(2)(3)(-1)\\&=64+17-9-102-16+6\\&=87-127\\\det(A_1)&=\bf-40\end{aligned}[/tex]

[tex]\begin{aligned}\det(A_2)&=\begin{vmatrix}2 & 16 & 3 \\1 & 3 & -1 \\3 & 17 & 2\end{vmatrix}\\&=(2)(3)(2)+(16)(-1)(3)+(3)(1)(17)\\&\quad-(3)(3)(3)-(17)(-1)(2)-(2)(1)(16)\\&=12-48+51-27+34-32\\&=97-107\\\det(A_2)&=\bf-10\end{aligned}[/tex]

[tex]\begin{aligned}\det(A_3)&=\begin{vmatrix}2 & -1 & 16 \\1 & 2 & 3 \\3 & -1 & 17\end{vmatrix}\\&=(2)(2)(17)+(-1)(3)(3)+(16)(1)(-1)\\&\quad-(3)(2)(16)-(-1)(3)(2)-(17)(1)(-1)\\&=68-9-16-96+6+17\\&=91-121\\\det(A_3)&=\bf-30\end{aligned}[/tex]

Maka kita peroleh:

[tex]\begin{aligned}\left(x_1,x_2,x_3\right)&=\left(\frac{\det(A_1)}{\det(A)},\ \frac{\det(A_2)}{\det(A)},\ \frac{\det(A_3)}{\det(A)}\right)\\&=\left(\frac{-40}{-10},\ \frac{-10}{-10},\ \frac{-30}{-10}\right)\\\left(x_1,x_2,x_3\right)&=(\bf4,\,1,\,3)\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]