Tentukan apakah pernyataan di bawah ini bernilai benar atau salah dengan memberikan penjelasan berdasarkan konsep-konsep pada materi Teori Bilangan.
a. Suatu kongruensi yang mempunyai bentuk 11x ≡ 14(mod 35) memiliki
penyelesaian.
b. Suatu kongruensi yang mempunyai bentuk 15x ≡ 6 (mod 18) memiliki 3
penyelesaian.
c. Jika ax ≡ 1 (mod b) memiliki sebuah penyelesaian, maka bx ≡ 1 (mod a) memiliki
sebuah penyelesaian.
Mohon bantuanya sekarang juga
a. Suatu kongruensi yang mempunyai bentuk 11x ≡ 14(mod 35) memiliki
penyelesaian.
b. Suatu kongruensi yang mempunyai bentuk 15x ≡ 6 (mod 18) memiliki 3
penyelesaian.
c. Jika ax ≡ 1 (mod b) memiliki sebuah penyelesaian, maka bx ≡ 1 (mod a) memiliki
sebuah penyelesaian.
Mohon bantuanya sekarang juga
a. Pernyataan a adalah salah. Untuk memastikan apakah kongruensi 11x ≡ 14 (mod 35) memiliki penyelesaian, kita perlu memeriksa apakah 11 dan 35 saling prima. Dalam kasus ini, 11 dan 35 bukan bilangan-bilangan yang saling prima (karena faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 11 dan 35 adalah 1), sehingga tidak ada jaminan bahwa kongruensi tersebut memiliki penyelesaian.
b. Pernyataan b adalah benar. Untuk menentukan jumlah penyelesaian kongruensi 15x ≡ 6 (mod 18), kita perlu memeriksa apakah 15 dan 18 saling prima. Dalam hal ini, FPB dari 15 dan 18 adalah 3. Jumlah penyelesaian kongruensi diberikan oleh FPB(15, 18) = 3. Oleh karena itu, kongruensi tersebut memiliki tiga penyelesaian.
c. Pernyataan c adalah benar. Jika ax ≡ 1 (mod b) memiliki sebuah penyelesaian, maka artinya ada suatu bilangan y yang memenuhi persamaan ax - by = 1. Dalam hal ini, FPB(a, b) = 1, sehingga persamaan tersebut adalah persamaan Diofantin. Menurut Teorema Bezout, persamaan Diofantin tersebut memiliki solusi. Oleh karena itu, bx ≡ 1 (mod a) juga akan memiliki setidaknya satu penyelesaian.