Question

Temukan semua bilangan reaksi yang memenuhi persamaan ( 1 + x² + x⁴ + ... + x²⁰¹⁴)(x²⁰¹⁶ + 1 ) = 2016x²⁰¹⁵
( OSN SMP )​

Answer 1

Verified answer

Bilangan real x yang memenuhi dari (1 + x² + x⁴ + ... + x²⁰¹⁴)(x²⁰¹⁶ + 1) = 2016x²⁰¹⁵ adalah x = 1 (yang merupakan akar kembar dari persamaan tersebut).
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diberikan persamaan:
(1 + x² + x⁴ + ... + x²⁰¹⁴)(x²⁰¹⁶ + 1) = 2016x²⁰¹⁵

Pertama-tama, pindahkan 2016x²⁰¹⁵ ke ruas kiri.

[tex]\left(1+x^2+x^4+{\dots}+x^{2014}\right)\left(x^{2016}+1\right)-2016x^{2015}=0[/tex]

Jabarkan dan susun sehingga pangkat-pangkatnya terurut menurun.

[tex]x^{4030}+x^{4028}+{\dots}+x^{2016}-2016x^{2015}+x^{2014}+x^{2012}+{\dots}+x^2+1=0[/tex]

Terdapat 2 kali perubahan tanda, yaitu [tex]+x^{2016}-2016x^{2015}[/tex] dan [tex]-2016x^{2015}+x^{2014}[/tex].

Berdasarkan aturan Descartes untuk menemukan banyak akar real positif dari suatu polinomial, polinomial tersebut memiliki 0 atau 2 buah akar positif, dan tidak memiliki akar negatif.
Kita juga bisa perhatikan bahwa pada ruas kanan persamaan awal, pangkat dari x adalah 2015 yang merupakan bilangan ganjil, sedangkan ruas kiri bernilai positif untuk semua x ∈ ℝ (positif atau negatif).
Maka jelas bahwa akarnya positif.

Kita periksa kembali polinomial tersebut.
Konstanta = 1, artinya hasil semua akarnya adalah 1.

Kemudian, dari persamaan awal:

• Pada (1 + x² + x⁴ + ... + x²⁰¹⁴) terdapat 2014/2 + 1 = 1008 suku.
• Pada (x²⁰¹⁶ + 1) terdapat 2 suku.
• Dengan x = 1, ruas kiri bernilai 1008 × 2 = 2016.
• Dengan x = 1, ruas kanan bernilai 2016.

⇒ x = 1 memenuhi persamaan.
⇒ Persamaan tersebut memiliki 2 akar, atau 2 buah solusi, yang bernilai sama yaitu 1, karena hasil kali akar-akarnya = 1. Hal ini sering disebut juga sebagai “akar kembar”.

∴ Dengan demikian, bilangan real x yang memenuhi dari (1 + x² + x⁴ + ... + x²⁰¹⁴)(x²⁰¹⁶ + 1) = 2016x²⁰¹⁵ adalah x = 1.
[tex]\blacksquare[/tex]