Question

tangens kąta ostrego alfa
jest równy ✓5 - 2

oblicz wartość tego wyrażenia

sin alfa * cos alfa
podzielić przez
sin² alfa - cos² alfa

prośba o pomoc​

Answer 1

Verified answer

[tex]\huge\boxed{{\underline{\dfrac{sin\alpha cos\alpha}{sin^2\alpha - cos^2\alpha}=-\dfrac14}}}[/tex]

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne kątów ostrych są dodatnie.

Przypomnijmy wzory trygonometryczne:

• Jedynka trygonometryczna:
  [tex]sin^2\alpha+cos^2\alpha=1[/tex]
• Wzory na tangens i cotangens:
  [tex]tg\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\\\\tg\alpha \cdot ctg\alpha=1\\\\ctg\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}[/tex]

Rozwiązanie:

Zadanie polega na obliczeniu wartości wyrażenia:

[tex]\dfrac{sin\alpha cos\alpha}{sin^2\alpha - cos^2\alpha}[/tex]
wiedząc, że tangens kąta α jest równy √5-2.

Dokonując odpowiednich przekształceń wzorów jesteśmy w stanie obliczyć sinus oraz cosinus kąta α:

[tex]tg\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha} \Rightarrow tg^2\alpha=\dfrac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}[/tex]

Z jedynki trygonometrycznej:

[tex]sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1 \Rightarrow sin^2\alpha = 1-cos^2\alpha[/tex]

[tex]tg^2\alpha=\dfrac{1-cos^2\alpha}{cos^2\alpha}[/tex]

Podstawiamy wartość tangensa do wzoru i obliczamy kwadrat cosinus:

[tex](\sqrt5-2)^2=\dfrac{1-cos^2\alpha}{cos^2\alpha}\\\\9-4\sqrt5=\dfrac{1-cos^2\alpha}{cos^2\alpha}\\\\9cos^2\alpha-4\sqrt5cos^2\alpha=1-cos^2\alpha\\\\10cos^2\alpha-4\sqrt5cos^2\alpha=1\\\\cos^2\alpha(10-4\sqrt5)=1\\\\cos^2\alpha=\dfrac{1}{10-4\sqrt5}\\\\cos^2\alpha=\dfrac{10+4\sqrt5}{100-80}\\\\cos^2\alpha=\dfrac{2(5+2\sqrt5)}{20}\\\\\underline{\underline{cos^2\alpha=\dfrac{5+2\sqrt5}{10}}}\\\\[/tex]

Obliczamy cosinus:

[tex]cos\alpha=\sqrt{\dfrac{5+2\sqrt5}{10}}\\\\\underline{\underline{cos\alpha=\dfrac{\sqrt{10(5+2\sqrt5)}}{10}}}[/tex]

Obliczamy kwadrat sinus:

[tex]sin^2\alpha=1-\dfrac{5+2\sqrt5}{10}\\\\sin^2\alpha=\dfrac{10-(5+2\sqrt5)}{10}\\\\\underline{\underline{sin^2\alpha=\dfrac{5-2\sqrt5}{10}}}[/tex]

Obliczamy sinus:

[tex]sin\alpha=\sqrt{\dfrac{5-2\sqrt{5}}{10}}\\\\\underline{\underline{sin\alpha=\dfrac{\sqrt{10(5-2\sqrt5)}}{10}}}[/tex]

Obliczamy iloczyn funkcji sinus i cosinus:

[tex]sin\alpha cos\alpha=\dfrac{\sqrt{10(5-2\sqrt5)}}{10}\cdot\dfrac{\sqrt{10(5+2\sqrt5)}}{10}[/tex]

[tex]sin\alpha cos\alpha=\dfrac{\sqrt{100(5-2\sqrt5)(5+2\sqrt5)}}{100}\\\\sin\alpha cos\alpha=\dfrac{10\sqrt{25-20}}{100}\\\\\underline{\underline{sin\alpha cos\alpha=\dfrac{\sqrt5}{10}}}[/tex]

Obliczamy różnicę kwadratów funkcji sinus i cosinus:

[tex]sin^2\alpha-cos^2\alpha=\dfrac{5-2\sqrt5}{10}-\dfrac{5+2\sqrt5}{10}\\\\sin^2\alpha-cos^2\alpha=\dfrac{5-2\sqrt5-(5+2\sqrt5)}{10}\\\\sin^2\alpha-cos^2\alpha=\dfrac{5-2\sqrt5-5-2\sqrt5}{10}\\\\sin^2\alpha-cos^2\alpha=\dfrac{-4\sqrt5}{10}\\\\\underline{\underline{sin^2\alpha-cos^2\alpha=-\dfrac{2\sqrt5}5}}[/tex]

Obliczamy wartość wyrażenia:

[tex]\dfrac{sin\alpha cos\alpha}{sin^2\alpha - cos^2\alpha}=\dfrac{\dfrac{\sqrt5}{10}}{-\dfrac{2\sqrt5}5}\\\\\dfrac{sin\alpha cos\alpha}{sin^2\alpha - cos^2\alpha}=\dfrac{\sqrt5}{10}\cdot\left(-\dfrac{5}{2\sqrt5}\right)\\\\\\\dfrac{sin\alpha cos\alpha}{sin^2\alpha - cos^2\alpha}=-\dfrac{5\sqrt5}{20\sqrt5}\\\\\\\boxed{{\underline{\dfrac{sin\alpha cos\alpha}{sin^2\alpha - cos^2\alpha}=-\dfrac14}}}[/tex]