Berapa nilai minimum 9+25 t6/t³, dimana adalah bilangan real positif?soal yang lebih jelasnya ada di.... Question from @cicinurrahayu

cicinurrahayu @cicinurrahayu

May 2022 1 4 Report

Berapa nilai minimum 9+25
t6/t³, dimana adalah bilangan real positif?

soal yang lebih jelasnya ada di foto

henriyulianto

Nilai minimum dari $\displaystyle\frac{9+25t^6}{t^3}$ di mana $t$ merupakan bilangan real positif adalah 30.

Pembahasan

Kita akan menentukan nilai minimum dari $\displaystyle\frac{9+25t^6}{t^3}$ di mana $t$ adalah bilangan real positif.

Cara Pertama: Ketaksamaan AM-GM

Karena $t$ bilangan real positif, kita dapat menggunakan ketaksamaan AM-GM, di mana AM ≥ GM.

AM adalah arithmetic mean (rataan aritmetik), dan GM adalah geometric mean (rataan geometrik).

Jika terdapat suku-suku (data) $x_1, x_2, {\dots}, x_n$ , maka:

$\begin{aligned}\bullet\ &AM=\frac{x_1+x_2+{\dots}+x_n}{n}\\\bullet\ &GM=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot{\dots}\cdot x_n}\\\bullet\ &AM \ge GM\end{aligned}$

Jika kita pecah $\dfrac{9+25t^6}{t^3}$ menjadi 2 suku, maka suku pertama adalah $\dfrac{9}{t^3}$ , dan suku kedua adalah $\dfrac{25t^6}{t^3}$ atau $25t^3$ .

$\begin{aligned}&AM \ge GM\\{\Rightarrow\ }&\frac{\dfrac{9}{t^3}+\dfrac{25t^6}{t^3}}{2} \ge \sqrt{\dfrac{9}{t^3}\cdot\dfrac{25t^6}{t^3}}\\{\Rightarrow\ }&\dfrac{9+25t^6}{t^3} \ge 2\sqrt{3^2\cdot5^2\cdot\dfrac{t^6}{t^6}}\\{\Rightarrow\ }&\dfrac{9+25t^6}{t^3} \ge 2\sqrt{15^2}\\{\Rightarrow\ }&\dfrac{9+25t^6}{t^3} \ge 2\cdot15\\{\therefore\ \;}&\dfrac{9+25t^6}{t^3} \ge \boxed{\ \bf30\ }\\\end{aligned}$

∴ Jadi, nilai minimumnya adalah 30.

Cara Kedua: Nilai Minimum Fungsi

Ambil $\displaystyle f(t)=\frac{9+25t^6}{t^3}$ . Nilai minimum $f(t)$ dapat ditentukan dari titik-titik stasionernya. Kita tentukan turunan pertamanya terlebih dahulu.

$\begin{aligned}f'(t)&=\frac{d}{dt}\left(\frac{9+25t^6}{t^3}\right)\\&=\frac{d}{dt}\left(\frac{9}{t^3}+25t^3\right)\\&=\frac{d}{dt}\left(9t^{-3}+25t^3\right)\\&=-27t^{-4}+75t^2\\&=\frac{75t^6-27}{t^4}\\f'(t)&=\frac{3\left(25t^6-9\right)}{t^4}\\\end{aligned}$

Titik stasioner: $f'(t)=0$

$\begin{aligned}0&=\frac{3\left(25t^6-9\right)}{t^4}\\\rightsquigarrow\;0&=3\left(25t^6-9\right)\,,\ t\ne0\\\rightsquigarrow\;0&=25t^6-9\\\rightsquigarrow t^6&=\frac{9}{25}\\\rightsquigarrow\ \:t&=\sqrt[6]{\frac{9}{25}}\ \because\ t\in\mathbb{R}\,,\ t > 0\end{aligned}$

Pada penyelesaian di atas, sebenarnya ada nilai sekawan negatifnya. Namun, karena $t$ adalah bilangan real positif, diambil solusi positif.

Kita masih perlu memeriksanya dengan turunan kedua.

Nilai minimum diperoleh ketika $f''(t) > 0$ .

$\begin{aligned}f''(t)&=\frac{df'(t)}{dt}\\&=\frac{d}{dt}\left(\frac{3\left(25t^6-9\right)}{t^4}\right)\\&=3\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{25t^6-9}{t^4}\right)\\&=3\cdot\frac{d}{dt}\left(25t^2-\frac{9}{t^4}\right)\\&=3\left(50t+\frac{36}{t^5}\right)\\&=6\left(25t+\frac{18}{t^5}\right)\\f''(t)&=\frac{6\left(25t^6+18\right)}{t^5}\end{aligned}$

Dengan bentuk fungsi turunan kedua seperti itu, dan $t > 0$ , maka diperoleh $f''(t) > 0$ . Oleh karena itu, benar bahwa:

$\displaystyle t_{\rm min}=\sqrt[6]{\frac{9}{25}}$

Nilai minimum yang kita cari adalah:

$\begin{aligned}f\left(t_{\rm min}\right)&=f\left(\sqrt[6]{\frac{9}{25}}\right)\\&=\frac{9+25\left(\sqrt[6]{\dfrac{9}{25}}\right)^6}{\left(\sqrt[6]{\dfrac{9}{25}}\right)^3}\\&=\frac{9+25\cdot\dfrac{9}{25}}{\sqrt{\dfrac{9}{25}}}\\&=\frac{9+9}{\frac{3}{5}}\\&=18\cdot\frac{5}{3}\\f\left(t_{\rm min}\right)&=\boxed{\ \bf30\ }\end{aligned}$