Question

Suma trzech liczb wynosi tworzących ciąg arytmetyczny wynosi 24.Jeżeli dodamy kolejno do pierwszej 3,do drugiej 2,a do trzeciej 6,to otrzymane liczby utworzą w tej kolejności ciąg geometryczny. Wyznacz wyrazy ciągu geometrycznego.

Answer 1

Odpowiedź:

ciąg arytmetyczny

a₁ - pierwszy wyraz

a₂ = a₁ + r - drugi wyraz = 8

a₃ = a₁ + 2r - trzeci wyraz

a₁ + a₁ + r + a₁ + 2r = 24

3a₁ + 3r = 24 | : 3

a₁ + r = 8

a₃ - a₂ = a₂ - a

ciąg geometryczny

a₁ + 3 - pierwszy wyraz

a₁ + r + 2 = 8 + 2 = 10 - drugi wyraz

a₁ + 2r + 6 = a₁ + r + r + 6 = 8 + r + 6 = 14 + r - trzeci wyraz

10² = (a₁ + 3)(14 + r)

100 = 14a₁ + 42 + a₁r + 3r

100 - 42 = 14a₁ + a₁r + 3r

58 = 14a₁ + a₁r + 3r

58 = a₁(14 + r) + 3r

a₁(14 + r) = 58 - 3r

a₁ = (58 - 3r)/(14 + r)

(58 - 3r)/(14 + r) + r = 8

58 - 3r + (14 + r)* r = 8(14 + r)

58 - 3r + 14r + r² = 112 + 8r

r² + 11r - 8r + 58 - 112 = 0

r² + 3r - 54 = 0

Δ = 3² - 4 * 1 * 54 = 9 ,+ 2q6 = 225

√Δ = √225 = 15

r₁ = ( - 3 - 15)/2 = - 18/2 = - 9

r₂ = ( - 3 + 15)/2 = 12/2 = 6

a₁ + r₁ = 8

a₁ - 9 = 8

a₁ = 8 + 9 = 17

a₁ + r₂ = 8

a₁ + 6 = 8

a₁ = 8 - 6 = 2

sprawdzamy ciąg arytmetyczny dla a₁ = 17 i r₁ = - 9

a₁ = 17

a₂ = 8

a₃ = 17 + 2 * (- 9) = 17 - 18 = 1

a₃ - a₂ = a₂ - a₁

1 - 8 = 8 - 17

- 7 ≠ - 9 , nie jest to ciąg arytmetyczny

sprawdzamy dla a₁ = 2 i r₂ = 6

a₁ = 2

a₂ = 8

a₃ = a₂ + r = 8 + 6 = 14

a₃ - a₂ = a₂ - a₁

14 - 8 = 8 - 2

6 = 6 , więc jest to ciąg arytmetyczny

a₁ = 2 , r = 6

ciąg geometryczny

a₁ = 2 + 3 = 5

a₂ = 10

a₃ = 14 + 6 = 20

a₂² = a₁ * a₃

10² = 5 * 20

100 = 100

L = P

Odp: Wyrazy ciągu geometrycznego to  a₁ = 5 , a₂ = 10 , a₃ = 20