Question

Suma ośmiu początkowych wyrazów pewnego rosnącego ciągu geometrycznego jest 17 razy większa od sumy czterech początkowych wyrazów tego ciągu.Oblicz jego iloraz

Answer 1

Odpowiedź:

Niech iloraz szukanego ciągu geometrycznego będzie równy q, a pierwszy wyraz to a.

Zgodnie z założeniem, suma pierwszych 8 wyrazów ciągu jest równa 17-krotności sumy pierwszych 4 wyrazów, co możemy zapisać w postaci równania:

a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7 = 17(a + aq + aq^2 + aq^3)

Możemy to równanie przekształcić, aby uzyskać wyrażenie dla ilorazu q:

aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7 = 16a + 15aq + 14aq^2 + 13aq^3

aq^4(1 + q + q^2 + q^3) = a(16 + 15q + 14q^2 + 13q^3)

Ponieważ ciąg jest rosnący, to q musi być większe od 1. Możemy więc podzielić obie strony równania przez aq^4:

1 + q + q^2 + q^3 = 16/aq^4 + 15/q + 14/q^2 + 13/q^3

Teraz zauważmy, że lewa strona równania to suma nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie 1 i ilorazie q, co możemy obliczyć jako:

1 + q + q^2 + q^3 = (1 - q^4)/(1 - q)

Podstawiając to wyrażenie do naszego równania, otrzymujemy:

(1 - q^4)/(1 - q) = 16/aq^4 + 15/q + 14/q^2 + 13/q^3

Możemy to równanie przekształcić, aby uzyskać wyrażenie dla ilorazu q:

q^4(16 + 15q + 14q^2 + 13q^3) = a(1 - q)(1 - q^4)

q^4(1 + q + q^2 + q^3) = a(1 - q^4)/(16 + 15q + 14q^2 + 13q^3)

Podstawiając wartości początkowe, a = x, 16 + 15q + 14q^2 + 13q^3 = 2x, możemy znaleźć wartość ilorazu:

q^4(1 + q + q^2 + q^3) = x(1 - q^4)/(2x)

q^4(1 + q + q^2 + q^3) = (1 - q^4)/2

2q^4 + 2q^5 + 2q^6 + 2q^7 = 1 - q^4

2q^4 + 2q^5 + 2q^6 + 3q^4 = 1

5q^4 + 2q^5 + 2q^6 = 1

q^4(5 + 2q + 2q^2) = 1

q^4 = 1/(5 + 2

Szczegółowe wyjaśnienie: