Question

Suku banyak f(x) dibagi dengan x-1 sisanya 5 dan dibagi dengan x²-2x-3 sisanya 2x + 1. jika f(x) dibagi dengan x²-1 maka sisa pembagiannya adalah...
a. x = 4
b. 2x = 3
c. 3x = 2
d. 4x = 1
e. 5x = 1

Answer 1

Kelas : XII (3 SMA)
Materi : Suku Banyak
Kata Kunci : suku banyak, pembagi, hasil bagi, sisa

Pembahasan :
Suku banyak atau polinomial p dalam k berderajat n memiliki bentuk umum :
a(n)xⁿ + a(n - 1)xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x¹ + a₀
dengan a(n), a(n - 1), ..., a₂, a₁, a₀ merupakan konstanta real;
a(n) koefisien xⁿ, a(n - 1) koefisien xⁿ⁻¹, dan seterusnya
a₀ merupakan suku tetap
n merupakan bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak.

Misalnya suku banyak f(x) dibagi dengan P(x) memberikan hasil bagi H(x) dan sisanya S(x) maka diperoleh hubungan
f(x) = P(x) . H(x) + S(x)
Jika f(x) merupakan suku banyak berderajat n dan P(x) merupakan pembagi berderajat m dengan m ≤ n maka
1. H(x) adalah hasil bagi berderajat n - m
2. S(x) adalah sisa pembagian berderajat maksimum (m - 1).

Penerapan teorema sisa dapat dikembangkan untuk menentukan sisa pada pembagian suku banyak dengan suku banyak berderajat dua atau lebih yang dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor linear.

Mari kita lihat soal tersebut.
Diketahui suku banyak dibagi dengan x - 1 sisa 5, 
suku banyak dibagi dengan x² - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) sisa 2x + 1, dan
suku banyak dibagi dengan x² - 1 = (x - 1)(x + 1).

Oleh karena pembagi (x - 1)(x + 1) berderajat dua, maka sisanya maksimum berderajat satu.
Misalnya pembagi P(x) = (x - 1)(x + 1), sisa S(x) = ax + b dan hasil bagi H(x), maka
f(x) = P(x) . H(x) + S(x)
f(x) = (x - 1)(x + 1) H(x) + ax + b
Kita subtitusikan x = 1 dan sisa S(1) = 5
f(1) = a + b = 5    ... (1)
Kita substitusikan x = -1 dan sisa S(-1) = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1
f(-1) = -a + b = -1 ... (2)
Kedua persamaan di atas kita selesaikan dengan metode eliminasi dan substitusi, diperoleh
a + b = 5
-a + b = -1
_________+
⇔ 2b = 4
⇔ b = 2
Kita substitusikan b = 2 ke persamaan (2), diperoleh
a + b = 5 
⇔ a = 5 - b
⇔ a = 5 - 2
⇔ a = 3
S(x) = 3x + 2
Jadi, suku banyak dibagi dengan x - 1 sisa 5, suku banyak dibagi dengan x² - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) sisa 2x + 1, dan suku banyak dibagi dengan x² - 1 = (x - 1)(x + 1) diperoleh sisa pembagiannya adalah 3x + 2.

Kemungkinan pengetikan pilihan jawaban di atas bukan sama dengan tetapi plus (+). Jawaban yang benar 3x + 2 (C). Coba cek lagi soalnya ya...
Semangat!

Answer 2

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-
[SUKU BANYAK]
Kelas : 11
Kata kunci : Pembagi ,Hasil bagi , Sisa

Diketahui:
f(x) dibagi (x-1) bersisa 5
f(x) dibagi (x²-2x-3) bersisa 2x+1
Maka f(x) dibagi (x²-1) bersisa ... ?

(x²-1) = (x+1)(x-1)⇒pembagi
Untuk (x-1) sudah diketahui sisanya sehingga :
x-1 = 0 ⇔x=1
f(1) = 5
Untuk (x+1) didapat dari x²-2x-3 dan sisanya 2x+1 sehingga :
(x²-2x-3) = (x-3)(x+1)
x+1 = 0 ⇔x=-1
f(-1) = 2.(-1) + 1
       = -2 + 1
       = -1

Berdasarkan rumus sisa yaitu S(x) = Px + Q,kita haru cari dahulu nilai P dan Q .
*Untuk nilai P:
P = f(a) - f(b) 
         a-b
P = f(1) - f(-1) 
         1-(-1)
P = 5 - (-1) 
      1-(-1)
P = 5+1 
     1+1
P = 6 
     2
P = 3

*Untuk nilai Q:
Q = a.f(b) - b.f(a) 
           a-b
Q = 1.f(-1) -(-1).f(1) 
             1-(-1)
Q = 1.(-1) + 1.5 
            1+1
Q = -1 + 5 
          2
Q = 4 
      2
Q  =2

Sehingga diperoleh sisa yaitu S(x) = Px+Q = 3x+2 (F)
-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-