Question

Stosunek długości przekątnych równoległoboku wynosi 2:1. Oblicz obwód równoległoboku wiedząc, że w równoległobok ten można wpisać okrąg, a promień tego okręgu ma długość 2.

Answer 1

Obwód tego równoległoboku wynosi 20.

Romb

Romb to czworokąt o wszystkich bokach równej długości oraz przeciwległych kątach tej samej miary. Jest to szczególny przypadek równoległoboku.

Przekątne w rombie przecinają się w połowie pod kątem prostym.

Obwód rombu o boku długości a wynosi:

[tex]Obw=4a[/tex].

Warunek wpisanie okręgu w czworokąt

Aby móc wpisać okrąg w czworokąt, suma długości przeciwległych boków tego czworokąta powinna być równa.

Jeśli oznaczymy długości boków czworokąta kolejno jako a, b, c, d, to możemy powyższy warunek symbolicznie zapisać jako:

[tex]a+c=b+d[/tex].

Wiemy, że stosunek długości przekątnych równoległoboku wynosi 2:1. Oznaczmy ich długości jako 4x i 2x.

Wiemy również, że w ten równoległobok można wpisać okrąg o promieniu długości 2. Jeśli długości boków równoległoboku oznaczymy jako a i b, to z powyższej informacji mamy równość

[tex]a+a=b+b\\2a=2b/:2\\a=b[/tex]

Zatem równoległobok ten jest rombem.

Przekątne tego równoległoboku dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne. Weźmy pod uwagę jeden z nich. Przyprostokątne takiego trójkąta mają długości 2x i x, przeciwprostokątna ma długość a. Ponadto wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego jest długości promienia okręgu i wynosi 2.

Pole takiego trójkąta możemy zapisać na dwa sposoby. Mamy:

[tex]P=\frac12*x*2x=x^2\\P=\frac12*a*2=a\\a=x^2[/tex]

Możemy również dla takiego trójkąta ułożyć równość w twierdzenia Pitagorasa:

[tex]x^2+(2x)^2=a^2\\x^2+4x^2=(x^2)^2\\5x^2=x^4/-5x^2\\x^4-5x^2=0\\x^2(x^2-5)=0\\x^2=0/\sqrt{} \quad \vee \quad x^2-5=0/+5\\x=0 - \text{sprzecznosc} \quad \vee \quad x^2=5/\sqrt{}\\x=\sqrt5 \quad \vee \quad x=-\sqrt5 - \text{sprzecznosc}[/tex]

[tex]a=x^2=(\sqrt5)^2=5[/tex]

Długość boku rombu wynosi 5. Zatem jego obwód jest równy:

[tex]Obw=4*5=20[/tex].

#SPJ1