Człowiek o masie m=50kg znajduje się na platformie o masie M=100kg, która jest dużym krążkiem o promieniu R=5m i może swobodnie obracać się względem pionowej osi przechodzącej przez jej środek. Zjaką prędkością kątowa zacznie obracać się platforma, jeżeli człowiek zacznie iść po brzegu platformy wynosi v=0.2 m/s.
Proszę o pełne rozwiązania.
dane:
m = 50 kg
M = 100 kg
R = 5 m
v = 0,2 m/s
szukane:
ωp = ? (prędkość kątowa platformy)
mamy tu znowu zasadę zachowania momentu pędu: moment pędu układu platforma-człowiek na początku (kiedy człowiek stał) był L = 0 i taki musi pozostać
zatem jeśli człowiek porusza się teraz ruchem obrotowym wzdłuz obwodu platformy, to ma niezerowy moment pędu; tym samym platforma musi się takze poruszać, aby zbalansować ten niezerowy moment pędu człowieka i aby L' = Lp' + Lcz' = 0
moment pędu człowieka:
Lcz' = Jcz * ω
Jcz = m * R² (moment bezwładności człowieka względem osi obrotu tj. osi prostopadłej do platformy i przechodzącej przez jej środek)
ω = v/R (związek między prędkością liniową i kątową)
Lcz' = m * v * R [mozna by tę relację zapisać od razu, bez wypisywania momentu bezwładności]
moment pędu platformy:
Lp' = Jp * ωp = 0,5 * M * R² *ωp
(Jp = 0,5 * M * R² moment bezwładności platformy)
stąd:
Lp' + Lcz' = 0,5 * M * R² *ωp + m * v * R = 0
0,5 * M * R² *ωp = -m * v * R / : (0,5 * M * R²)
ωp = - (2 *m * v) /(M * R)
ωp = - 0,04 1/s
[minus oznacza, ze platforma obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu człowieka: ucieka mu spod stóp]