Question

Sprawdź, czy punkt C należy do prostej AB. a) A(1,3), B(7,4), C(13,5) b) A(9,0), B(4,5), C(0,9) c) A(-5,4), B(-1,-4), C(2,9) d) A(3,0), B(3,7), C(3, √6)​

Answer 1

a) Punkt C leży na prostej AB.

b) Punkt C leży na prostej AB.

c) Punkt C nie leży na prostej AB.

d) Punkt C leży na prostej AB.

Wyznaczanie równania prostej, współliniowość punktów

Jeżeli punkty A, B i C leżą na jednej prostej to mówimy, że są współliniowe.

Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty A=(x₁, y₁) oraz B=(x₂, y₂), rozwiązujemy układ równań:

[tex]\huge\boxed{\left\{\begin{matrix}y_1=ax_1+b\\\\y_2=ax_2+b\end{matrix}}[/tex]

Rozwiązaniem układu będą współczynniki a i b funkcji liniowej.

Jeżeli punkt C=(x₃, y₃) leży na tej prostej, to zachodzi równość:

[tex]\huge\boxed{y_3=ax_3+b}[/tex]

Rozwiązanie:

Kroki rozwiązania zadania:

1. Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B.
2. Sprawdzamy, czy punkt C należy do tej prostej, poprzez podstawienie współrzędnych tego punktu do równania prostej.

a)

[tex]A=(1, 3);\;\;B=(7, 4);\;\;C=(13, 5)[/tex]

[tex]\left\{\begin{array}{lll}3=a+b&|&\cdot (-1)\\\\4=7a+b\end{array}\right.\\\\\underline{+\left\{\begin{array}{lll}-3=-a-b\\\\4=7a+b\end{array}\right.}}\\\\-3+4=-a+7a-b+b\\\\1=6a\\\\\underline{\bold{a=\dfrac16}}\\\\\dfrac16+b=3\\\\b=3-\dfrac16\\\\\underline{\bold{b=2\dfrac56}}[/tex]

Równanie prostej ma postać:

[tex]y=\dfrac16x+2\dfrac56\\\\y=\dfrac16x+\dfrac{17}6\\\\\boxed{\bold{y=\dfrac{x+17}6}}[/tex]

Sprawdzamy, czy punkt C leży na tej prostej:

[tex]5=\dfrac{13+17}6\\\\5=\dfrac{30}6\\\\5=5\\\\\text{L=P}[/tex]

Wniosek: Punkt C leży na prostej AB.

b)

[tex]A=(9, 0);\;\;B=(4, 5);\;\;C=(0, 9)\\\\\left\{\begin{array}{lll}0=9a+b\\\\5=4a+b&|&\cdot (-1)\end{array}\right.\\\\\\\underline{\bold{+\left\{\begin{array}{lll}0=9a+b\\\\-5=-4a-b\end{array}\right.}}\\\\0-5=9a-4a+b-b\\\\-5=5a\\\\\underline{\bold{a=-1}}\\\\9\cdot (-1)+b=0\\\\-9+b=0\\\\\underline{\bold{b=9}}[/tex]

Równanie prostej ma postać:

[tex]\boxed{\bold{y=-x+9}}[/tex]

Sprawdzamy, czy punkt C leży na tej prostej:

[tex]9=-0+9\\\\9=9\\\\\text{L=P}[/tex]

Wniosek: Punkt C leży na prostej AB.

c)

[tex]A=(-5, 4);\;\;B=(-1, -4);\;\;C=(2, 9)[/tex]

[tex]\left\{\begin{array}{lll}4=-5a+b\\\\-4=-a+b&|&\cdot (-1)\end{array}\right.\\\\\\\underline{\bold{+\left\{\begin{array}{lll}4=-5a+b\\\\4=a-b\end{array}\right.}}\\\\4+4=-5a+b+b-b\\\\8=-4a\\\\\underline{\bold{a=-2}}\\\\-(-2)+b=-4\\\\4+b=-4\\\\\underline{\bold{b=-8}}[/tex]

Równanie prostej ma postać:

[tex]\boxed{\bold{y=-2x-8}}[/tex]

Sprawdzamy, czy punkt C leży na tej prostej:

[tex]9=-2\cdot 2-8\\\\9=-4-8\\\\9\neq -12[/tex]

Wniosek: Punkt C nie leży na tej prostej.

d)

[tex]A=(3, 0);\;\;B=(3, 7);\;\;C=(3, \sqrt6)[/tex]

[tex]\left\{\begin{array}{lll}0=3a+b\\\\7=3a+b\end{array}\right.[/tex]

Punkty mają tę samą współrzędną x, zatem równanie prostej ma postać:

[tex]\boxed{\bold{x=3}}[/tex]

Punkt C również ma tę samą współrzędną x.

Wniosek: Punkt C leży na tej prostej.