Question

sprawdź czy ciąg jest monotoniczny

1) an= n^2 - 4n
2) an=(n-3)(n-8)

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Aby sprawdzić, czy ciąg {an} jest monotoniczny, należy zbadać znak różnicy kolejnych wyrazów ciągu.

an+1 - an = (n+1)^2 - 4(n+1) - (n^2 - 4n) = 2n - 2

Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest równa 2n - 2. Gdy n rośnie, wyraz 2n-2 zwiększa się, co oznacza, że różnica między kolejnymi wyrazami staje się coraz większa. Oznacza to, że ciąg {an} jest niemalejący.

Podobnie jak w przypadku poprzedniego ciągu, aby zbadać monotoniczność ciągu {an} należy zbadać znak różnicy kolejnych wyrazów ciągu.

an+1 - an = (n+1-3)(n+1-8) - (n-3)(n-8) = -15n + 55

Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest równa -15n + 55. Gdy n rośnie, wyraz -15n zwiększa się, co oznacza, że różnica między kolejnymi wyrazami staje się coraz mniejsza. Oznacza to, że ciąg {an} jest nierosnący.