Question

Sprawdź, czy A ⊂ B, B ⊂ A lub A = B:
a) A = {x : x ∈ N ∧ 6|x}, B = {x : x ∈ N ∧ 3|x}
b) A = {x : x ∈ R ∧ x ¬ −2}, B = {x : x ∈ R ∧ x < −1}
c) A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}, B = {3, 5, 7, 11, 13, 17}
d) A = {x : x ∈ N ∧ 2|x}, B – zbiór liczb złożonych
e) A – zbiór liczb pierwszych, B – zbiór liczb nieparzystych
f) A = {x : x ∈ W ∧
√6 x ∈ W}, B = {x : x ∈ W ∧
√3 x ∈
W}
g) A = {x : x ∈ R ∧ 3x + 1 > 7}, B = {x : x ∈ R ∧ x >
2 ∧ x 6= 0}


daje najj

Answer 1

Oto analiza zbiorów A i B w kontekście zawierania się, rozłączności lub równości:

a) A = {x : x ∈ N ∧ 6|x} - zbiór liczb naturalnych podzielnych przez 6

B = {x : x ∈ N ∧ 3|x} - zbiór liczb naturalnych podzielnych przez 3

W tym przypadku A zawiera tylko liczby podzielne przez 6, podczas gdy B zawiera liczby podzielne przez 3. Żadne liczby nie spełniają obu warunków naraz, więc A i B są rozłączne: A ∩ B = {}. Nie zachodzi A ⊂ B ani B ⊂ A, ponieważ żaden zbiór nie jest podzbiorem drugiego, i nie są one równe.

b) A = {x : x ∈ R ∧ x ≠ -2} - zbiór liczb rzeczywistych bez -2

B = {x : x ∈ R ∧ x < -1} - zbiór liczb rzeczywistych mniejszych niż -1

W tym przypadku A zawiera liczby rzeczywiste różne od -2, podczas gdy B zawiera liczby mniejsze niż -1. Oba zbiory są rozłączne, ponieważ nie ma liczby, która jednocześnie spełniałaby oba warunki. Nie zachodzi A ⊂ B ani B ⊂ A, i nie są one równe.

c) A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

B = {3, 5, 7, 11, 13, 17}

Zbiór A zawiera liczby pierwsze mniejsze od 17, a zbiór B również zawiera liczby pierwsze mniejsze od 17. A ⊂ B, ponieważ wszystkie elementy zbioru A są zawarte w zbiorze B. B ⊂ A również jest prawdziwe, ponieważ każdy element zbioru B (z wyjątkiem 17) jest zawarty w zbiorze A. A i B nie są równe, ale zachodzi zawieranie się A ⊂ B i B ⊂ A.

d) A = {x : x ∈ N ∧ 2|x} - zbiór liczb naturalnych podzielnych przez 2

B - zbiór liczb złożonych

W tym przypadku A zawiera liczby parzyste, podczas gdy B to zbiór wszystkich liczb złożonych (czyli niebędących liczbami pierwszymi). A ⊂ B, ponieważ wszystkie elementy zbioru A są zawarte w zbiorze B. B ⊂ A nie jest prawdziwe, ponieważ zbiór B zawiera liczby, które nie są w A (liczby złożone, które nie są parzyste). A i B nie są równe, ale zachodzi zawieranie się A ⊂ B.

e) A - zbiór liczb pierwszych

B - zbiór liczb nieparzystych

Zbiór A zawiera liczby pierwsze, a zbiór B zawiera liczby nieparzyste. Żadna liczba pierwsza nie jest liczbą parzystą, więc A ⊂ B, ponieważ każdy element zbioru A (liczby pierwsze) jest zawarty w B (liczby nieparzyste). Jednak B zawiera liczby, które nie są pierwsze (np. -1), więc B ⊂ A nie jest prawdziwe. A i B nie są równe, ale zachodzi zawieranie się A ⊂ B.

f) A = {x : x ∈ W ∧ √6 x ∈ W} - zbiór liczb wymiernych pomnożonych przez √6, które są liczbami wymiernymi

B = {x : x ∈ W ∧ √3 x ∈ W} - zbiór liczb wymiernych pomnożonych przez √3, które są liczbami wymiernymi

Oba zbiory A i B zawierają liczby wymierne pomnożone przez pierwiastki, które są również liczbami wymiernymi. W tym przypadku A = B, ponieważ wszystkie elementy zbioru A są zawarte w B, i odwrotnie.

g) A = {x : x ∈ R ∧ 3x + 1 > 7} - zbiór liczb rzeczywistych, dla których 3x + 1 jest większe niż 7

B = {x : x ∈ R ∧ x > 2 ∧ x ≠ 0} - zbiór liczb rzeczywistych większych niż 2 i różnych od 0

Zbiór A zawiera liczby rzeczywiste, które spełniają nierówność 3x + 1 > 7, czyli x > 2. Zbiór B zawiera liczby rzeczywiste większe niż 2. Wszystkie liczby, które spełniają nierówność z A, spełniają również warunki B, więc A ⊂ B. Jednak B zawiera liczby mniejsze niż 2, które nie spełniają warunków A, więc B ⊂ A nie jest prawdziwe. A i B nie są równe, ale zachodzi zawieranie się A ⊂ B.

()

Answer 2

Odpowiedź:Let's go through each of the given sets and understand their properties:

a) \( A = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ and } 6 | x\} \) is the set of natural numbers that are multiples of 6. \( B = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ and } 3 | x\} \) is the set of natural numbers that are multiples of 3.

b) \( A = \{x : x \in \mathbb{R} \text{ and } x \neq -2\} \) is the set of all real numbers except -2. \( B = \{x : x \in \mathbb{R} \text{ and } x < -1\} \) is the set of all real numbers less than -1.

c) \( A = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\} \) is a set of prime numbers. \( B = \{3, 5, 7, 11, 13, 17\} \) is also a set of prime numbers.

d) \( A = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ and } 2 | x\} \) is the set of natural numbers that are even. \( B \) - set of composite numbers.

e) \( A \) - set of prime numbers, \( B \) - set of odd numbers.

f) \( A = \{x : x \in \mathbb{W} \text{ and } \sqrt{6x} \in \mathbb{W}\} \) is the set of numbers in \( \mathbb{W} \) such that \( \sqrt{6x} \) is also in \( \mathbb{W} \). \( B = \{x : x \in \mathbb{W} \text{ and } \sqrt{3x} \in \mathbb{W}\} \) is the set of numbers in \( \mathbb{W} \) such that \( \sqrt{3x} \) is also in \( \mathbb{W} \).

g) \( A = \{x : x \in \mathbb{R} \text{ and } 3x + 1 > 7\} \) is the set of real numbers for which \( 3x + 1 \) is greater than 7. \( B = \{x : x \in \mathbb{R} \text{ and } x > 2 \text{ and } x \neq 0\} \) is the set of real numbers greater than 2 and not equal to 0.