Question

Spośród czworga uczniów (Kasia,Asia,Jurek i Wojtek) należy wylosować dwie osoby, które wezmą udział w przedstawieniu dla rodziców. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą to chłopiec i dziewczynka, jeśli wybór każdej pary jest tak samo prawdopodobny?

Answer 1

Prawdopodobieństwo, że w wylosowanej grupie znajdzie się chłopiec i dziewczynka wynosi ²/₃.

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwem pewnego zdarzenia losowego A jest iloraz liczby zdarzeń sprzyjających zaistnieniu tego zdarzenia przez liczbę wszystkich możliwych zdarzeń w tym doświadczeniu.

[tex]\huge\boxed{P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|},\;\;\Omega \neq \emptyset,\;\;0\leq P(A)\leq 1}[/tex]

Rozwiązanie:

Mamy grupę liczącą czworo uczniów.

Zgodnie z regułą mnożenia, parę uczniów można wylosować na 4 · 3 = 12 sposobów.

[tex]|\Omega| = 12[/tex]

1. Losujemy dziewczynkę, następnie chłopca.

Prawdopodobieństwo wylosowania dziewczynki z czteroosobowej grupy:

[tex]\dfrac{2}4=\dfrac12[/tex]

Prawdopodobieństwo wylosowania chłopca z trzyosobowej grupy:

[tex]\dfrac23[/tex]

Zatem prawdopodobieństwo wylosowania dziewczynki i chłopca jest iloczynem prawdopodobieństw wylosowania każdego z nich:

[tex]\dfrac12\cdot\dfrac23=\boxed{\bold{\dfrac13}}[/tex]

1. Losujemy chłopca, następnie dziewczynkę.

Prawdopodobieństwo wylosowania chłopca z czteroosobowej grupy:

[tex]\dfrac24=\dfrac12[/tex]

Prawdopodobieństwo wylosowania dziewczynki z trzyosobowej grupy:

[tex]\dfrac23[/tex]

Zatem prawdopodobieństwo wylosowania chłopca i dziewczynki jest iloczynem prawdopodobieństw wylosowania każdego z nich:

[tex]\dfrac12\cdot \dfrac23=\boxed{\bold{\dfrac13}}[/tex]

Wylosowanie dwóch osób, z których jedna będzie chłopcem, a druga dziewczynką, jest więc sumą wyżej obliczonych prawdopodobieństw:

[tex]\dfrac13+\dfrac13=\boxed{\bold{\dfrac23}}[/tex]