Sobre la recta y=2x+8: Hallar un punto cuya distancia al punto (10,2) sea mínimo.
Explicado con derivadas por favor
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para hacer esto tenemos que tener presente que lo que tu quieres hacer es hallar la distancia entre un punto perteneciente a la recta, cuyas coordenadas serian (x,y) y el punto (10,2), la formula para distancia entre puntos es![\sqrt[2]{(x-x1)^{2} + (y-y1)^2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B2%5D%7B%28x-x1%29%5E%7B2%7D+%C2%A0%2B+%28y-y1%29%5E2%7D "\sqrt[2]{(x-x1)^{2} + (y-y1)^2}")
donde "x" y "x1" representan la coordenada x de los 2 puntos, lo mismo con y, entonces tenemos una funcion si reemplazamos, digamos que x=x, x1=10, y=y, y1=2. pero ahora tenemos un problema con esa ye dentro de la ecuacion no? entonces sabemos que y = 2x+8 y la reemplazamos en la funcion de distancia:
x=x, x1=10, y=2x+8, y1=2
en la imagen adjunta puse la grafica de la recta (roja) el punto y la funcion de la distancia entre puntos (verde).
ahora que queremos hallar, la menor distancia osea el punto donde la distancia es minima, que hacemos, derivamos la funcion![\sqrt[2]{(x-10)^{2} + ((2x+8)-2)^2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B2%5D%7B%28x-10%29%5E%7B2%7D+%C2%A0%2B+%28%282x%2B8%29-2%29%5E2%7D "\sqrt[2]{(x-10)^{2} + ((2x+8)-2)^2}")
(ya lo haras tu) luego buscamos los puntos criticos de la funcion (en este caso solo obtendras 1 ) como tenemos la grafica sabemos que ese sera el minimo y ya esta, ahora tenemos el punto x donde la distancia con el punto (10,2) es menor, entonces reemplazamos esa x en la recta para saber las coordenadas del punto, creo que son (-0.4, 7.2)
PD: cuando estas trabajando con problemas de oprimizacion como este debes buscar una funcion que relaciones lo que sabes con lo que buscas, que fue lo que yo hice.
saludos.