Question

Soal:

Andaikan terdapat suatu partikel yang bergerak di dalam bidang Euclidean tiga dimensi berdasarkan persamaan parametrik berikut:

x(t) = cos(t²) - 2sin(t)
y(t) = t³
z(t) = e^(-t)

Secara eksplisit, hamparkan ruang lingkup di mana partikel berada pada selang waktu t ∈ [0, 10].

Tentukan persoalan batas Dirichlet ketat dengan penjnadian wave partial terhadap variabel t, tempat dimana konstanta wave atau kecepatan propagasi, c, terlihat pada hasil perhitungan final. Kemudian untuk menyelesaikan persoalan ini, benamkan solusinya dalam notasi analitik dengan bantuan transformasi Fourier.​

Answer 1

Jawaban:

Untuk mencari persamaan wave partial dari partikel yang bergerak dalam ruang tiga dimensi, kita perlu menemukan persamaan gelombangnya terlebih dahulu. Persamaan gelombang dapat ditemukan dengan menghitung turunan kedua terhadap waktu (t) dari setiap koordinat (x, y, z).

Turunan kedua dari setiap koordinat terhadap t adalah:

x''(t) = -2cos(t²) - 2cos(t)

y''(t) = 6t

z''(t) = e^(-t)

Kemudian, kita dapat memasukkan turunan-turunan ini ke dalam persamaan gelombang umum:

c²(x''(t) + y''(t) + z''(t)) = (∂²/∂t²)(x(t), y(t), z(t))

Menggabungkan persamaan-persamaan di atas, kita dapatkan:

c²(-2cos(t²) - 2cos(t) + 6t + e^(-t)) = (∂²/∂t²)(cos(t²) - 2sin(t), t³, e^(-t))

Persoalan batas Dirichlet ketat mengacu pada kondisi batas yang ditetapkan pada ujung selang waktu t ∈ [0, 10]. Namun, dari persamaan yang diberikan, tidak ada kondisi batas yang spesifik diberikan. Oleh karena itu, tidak dapat ditentukan secara eksplisit.

Untuk menyelesaikan persoalan ini menggunakan transformasi Fourier, kita perlu melihat secara lebih rinci struktur dan kondisi batas yang terkait dengan partikel yang bergerak. Dalam kasus ini, informasi tersebut tidak diberikan. Jadi, tidak dapat menyajikan solusi dalam notasi analitik dengan bantuan transformasi Fourier tanpa informasi tambahan tentang kondisi batas yang spesifik.