Question

Siema, czy jest ktoś w stanie logicznie mi wyjaśnić czemu pierwiastek stopnia parzystego nie może się równać liczbie ujemnej? I nie piszcie mi 'bo tak jest w definicji', mnie ciekawi czemu akurat tak jest w definicji. Potęga jest odwrotnością pierwiastkowania a uwzględnia liczby ujemne.
Przykład o co mi chodzi:
✓4 = 2 poprawne
✓2 = -2 niepoprawne
Czemu?

Answer 1

Pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Zatem przez pierwiastek n-stopnia należy rozumieć "jaką liczbę należy podnieść do potęgi n, aby otrzymać liczbę pod pierwiastkiem".

Zatem:

[tex]\sqrt4=2 \text{ oraz } \sqrt4=-2[/tex]

poniewaz:

[tex]2^2=4 \text{ oraz } (-2)^2=4[/tex]

Ważne: Liczba ujemna podniesiona do potęgi o wykładniku parzystym zawsze da liczbę dodatnią. W zwiazku z tym należy pamiętać, że nie istnieją pierwiastki parzystego stopnia z liczby ujemnej, ponieważ nie ma takiej liczby ujemnej, która podniesiona do potęgi o parzystym wykładniku da liczbę ujemną:

Przykład:

[tex](-2)^2\neq -4 \text{ poniewaz } (-2)\cdot (-2)=4[/tex]

W przypadku pierwiastków stopnia nieparzystego, istnieją zarówno pierwiastki liczb dodatnich oraz ujemnych:

[tex]\sqrt[3]{27}=3 \text{ poniewaz } 3^3=3\cdot3\cdot3=27\\\sqrt[3]{27}\neq -3 \text{ poniewaz } (-3)^3 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)=\bold{-27}[/tex]

[tex]\sqrt[3]{-27}\neq 3 \text{ poniewaz }3^3=3\cdot3\cdot3=27\\\sqrt[3]{-27}=-3 \text{ poniewaz } (-3)^3=(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=-27[/tex]