Siatką o długości 120 m bieżących należy ogrodzić dwa place w kształcie prostokątów, z których jeden jest podobny do drugiego w skali 2. Jakie powinny być wymiary tych placów, aby pole powierzchni ograniczonej siatką było największe? PROSZĘ O SZYBKĄ ODPOWIEDZ DAJE NAJ!
Odpowiedź:
a=10
b=10
m=20
n=20
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zakładamy że prostokąty mają długości boków:
mniejszy a, b;
większy m, n.
Skoro skala podobieństwa wynosi 2, to:
m=2a
n=2b
Wiedząc że suma obwodów prostokątów wynosi 120, i zakładając że te prostokąty nie przylegają do siebie, możemy stwierdzić że:
2a+2b+2m+2n=120
2a+2b+4a+4b=120
6a+6b=120
a+b=20
b=20-a
Skoro szukamy maksymalnej wartości sumu pól, to
ab+mn=ab+4ab=5ab=5a(20-a)=[tex]100a-5a^2[/tex]=maks
Mamy więc do czynienia z parabolą z ramionami skierowanymi do dołu o punktach zerowych a=0 i a=20, co znaczy że wartość maksymalna znajduje się w wierzchołku funkcji, który znajduje się pośrodku punktów zerowych. Zatem funkcja przyjmuje wartość maksymalną dla a=10. Czyli:
5a(20-a)=50(20-10)=[tex]50\cdot 10[/tex]=500
Dla pewności używamy wzorów na współrzędne wierzchołka paraboli p i q:
[tex]\Delta=b^2-4ac=100^2-4 \cdot (-5) \cdot 0= 10000\\p=\frac{-b}{2a} =\frac{-100}{-10} =10\\q=\frac{-\Delta}{4a} =\frac{-10000}{-20} =500[/tex]
Zatem maksymalne pole które możemy ogrodzić to 500[tex]m^2[/tex] przy wymiarach placów:
a=10
b=10
m=20
n=20