Respuesta:
1. Desigualdades entre medias
La estrategia m´as general para probar desigualdades es transformar la desigualdad a la
que nos enfrentamos en una cuya veracidad sepamos de antemano. Por ejemplo, sabemos
que el ´area de un cuadrado es siempre no negativa; en realidad para cualquier n´umero real
x se tiene que x
2 ≥ 0, cumpli´endose la igualdad si y solo si x = 0. Supongamos entonces
que queremos probar la desigualdad
(1) 2ab ≤ a
2 + b
2
para a y b n´umeros reales. Si la reordenamos obtenemos la desigualdad equivalente
2ab ≤ a
2 ⇐⇒ 0 ≤ a
2 − 2ab = (a − b)
,
que sabemos es cierta. Por supuesto la igualdad se cumple si y solo si a − b = 0, es decir,
a = b.
x
xx2
a
- bb
(a - b)
Figura 1. Representaci´on geom´etrica de x
como el ´area de un cuadrado
de lado x. A la derecha una representaci´on geom´etrica de la bien conocida
identidad notable (a − b)
2 = a
2 − 2ab.
El problema reside en que a veces el n´umero de pasos para transformar nuestra desigual-
dad en una del tipo x
2 ≥ 0 es muy grande. Por eso es normal utilizar las desigualdades
equivalentes que veremos a continuaci´on.
1
Explicación paso a paso:
Ejemplo 1.1. De todos los ortoedros de ´area A fija, el cubo es el de mayor volumen.
Sean a, b y c la anchura, altura y profundidad, respectivamente, de un ortoedro con ´area
A y volumen V . Es claro que
A = 2(ab + bc + ac) y V = abc.
Utilizando la desigualdad GM-AM con x1 = a, x2 = b y x3 = c obtenemos
A =
6
3
(ab + bc + ac) ≥ 6(a
b
c
)
1/3 = 6V
2/3 ⇐⇒ V ≤
A
3/2
.
La hip´otesis de que el ´area A es fija significa que la cantidad (A/6)3/2
tambi´en lo es; este
detalle es importante porque nos permite asegurar que el volumen ser´a el mayor cuando
se cumpla la igualdad. Como en la desigualdad GM-AM la igualdad se produce si y solo
si x1 = x2 = x3, esto nos lleva a que ab = bc = ac, es decir, a = b = c. Por eso el mayor
volumen se alcanza cuando el ortoedro es un cubo.
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Respuesta:
1. Desigualdades entre medias
La estrategia m´as general para probar desigualdades es transformar la desigualdad a la
que nos enfrentamos en una cuya veracidad sepamos de antemano. Por ejemplo, sabemos
que el ´area de un cuadrado es siempre no negativa; en realidad para cualquier n´umero real
x se tiene que x
2 ≥ 0, cumpli´endose la igualdad si y solo si x = 0. Supongamos entonces
que queremos probar la desigualdad
(1) 2ab ≤ a
2 + b
2
para a y b n´umeros reales. Si la reordenamos obtenemos la desigualdad equivalente
2ab ≤ a
2 + b
2 ⇐⇒ 0 ≤ a
2 + b
2 − 2ab = (a − b)
2
,
que sabemos es cierta. Por supuesto la igualdad se cumple si y solo si a − b = 0, es decir,
a = b.
x
xx2
a
- bb
a
(a - b)
2
Figura 1. Representaci´on geom´etrica de x
2
como el ´area de un cuadrado
de lado x. A la derecha una representaci´on geom´etrica de la bien conocida
identidad notable (a − b)
2 = a
2 + b
2 − 2ab.
El problema reside en que a veces el n´umero de pasos para transformar nuestra desigual-
dad en una del tipo x
2 ≥ 0 es muy grande. Por eso es normal utilizar las desigualdades
equivalentes que veremos a continuaci´on.
1
Explicación paso a paso:
Ejemplo 1.1. De todos los ortoedros de ´area A fija, el cubo es el de mayor volumen.
Sean a, b y c la anchura, altura y profundidad, respectivamente, de un ortoedro con ´area
A y volumen V . Es claro que
A = 2(ab + bc + ac) y V = abc.
Utilizando la desigualdad GM-AM con x1 = a, x2 = b y x3 = c obtenemos
A =
6
3
(ab + bc + ac) ≥ 6(a
2
b
2
c
2
)
1/3 = 6V
2/3 ⇐⇒ V ≤
A
6
3/2
.
La hip´otesis de que el ´area A es fija significa que la cantidad (A/6)3/2
tambi´en lo es; este
detalle es importante porque nos permite asegurar que el volumen ser´a el mayor cuando
se cumpla la igualdad. Como en la desigualdad GM-AM la igualdad se produce si y solo
si x1 = x2 = x3, esto nos lleva a que ab = bc = ac, es decir, a = b = c. Por eso el mayor
volumen se alcanza cuando el ortoedro es un cubo.