Question

Si el mayor de los promedios de dos números es 10 y el menor de los promedios es 8,1; calcular la media geométrica de dichos números.
por favor ayudenm

Answer 1

Respuesta:

          [tex]9[/tex]

Explicación paso a paso:

[tex]x ; y :[/tex] los dos números.

El mayor promedio es la media aritmética:

[tex]M.A= \frac{x+y}{2}[/tex]

El menor promedio es la media armónica:  

[tex]M.H= \frac{2xy}{x+y}[/tex]

[tex]M.A = 10[/tex]    ;   [tex]M.H = 8.1[/tex]

Sistema de ecuaciones:

[tex]\frac{x+y}{2} = 10, entonces: x+y = 20[/tex]  

[tex]\frac{2xy}{x+y} = 8.1, entonces: \frac{2vx}{20} =8.1[/tex]

Por el método de sustitución:

[tex]x+y = 20[/tex]               [tex]ecuac.1[/tex]

[tex]xy = 81[/tex]                    [tex]ecuac.2[/tex]

Despejamos " y " en la ecuac.1

[tex]y = 20-x[/tex]

Sustituimos " y " en la ecuac.2

[tex]x ( 20-x ) = 81[/tex]

[tex]20x -x^{2} = 81[/tex]

[tex]-x^{2} +20x-81=0[/tex]

[tex]a = -1 ; b = 20 ; c = -81[/tex]

Por la fórmula general:

[tex]x = \frac{-b\frac{+}{} \sqrt{b^{2} -4ac} }{2a} = \frac{-20\frac{+}{} \sqrt{(20)^{2} -4(-1)(-81)} }{2(-1)} =\frac{-20\frac{+}{} \sqrt{400-324} }{-2} = \frac{-20\frac{+}{} \sqrt{76} }{-2}[/tex]

[tex]x_{1} = \frac{-20+\sqrt{76} }{-2}=\frac{-20+2\sqrt{19} }{-2} =10-\sqrt{19}[/tex]          

[tex]x_{2} = \frac{-20-2\sqrt{19} }{-2} = 10+\sqrt{19}[/tex]

[tex]y_{1} = 20 -10+\sqrt{19} = 10+\sqrt{19}[/tex]

[tex]y_{2} = 20-10-\sqrt{19} =10 -\sqrt{19}[/tex]

La media geométrica:

[tex]M.G = \sqrt[n]{x_{1} *y_{1} }[/tex]

[tex]M.G = \sqrt[2]{(10-\sqrt{19})*(10+\sqrt{19} ) }[/tex]

[tex]M.G = \sqrt{(10)^{2} -(\sqrt{19} )^{2}[/tex]

[tex]M.G = \sqrt{100-19}[/tex]

[tex]M.G = \sqrt{81}[/tex]

[tex]Luego: M.G = 9[/tex]