Question

Seorang atlet diwajibkan makan dua jenis tablet setiap hari. tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. dalam satu hari, atlet itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. harga tiap-tiap tablet, Rp.1.500,00 dan Rp.2.000,00
nyatakan masalah diatas dalam model matematika dan nilai minimum

Answer 1

Kelas : XII (3 SMA)
Materi : Program Linear
Kata Kunci : model, matematika, fungsi, optimum

Pembahasan :
Program linear adalah suatu cara untuk memecahkan suatu persoalan tertentu dimana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian. Dari semua hasil yang mungkin, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian optimal).

Masalah program linear berhubungan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x, y) = ax + by yang dinamakan fungsi objektif terhadap suatu poligon yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel termasuk persyaratan variabel-variabel yang tidak negatif (x ≥ 0 dan y ≥ 0).

Setiap titik dalam poligon dinamakan penyelesaian yang mungkin dari masalah. Suatu titik dalam poligon dimana f mencapai nilai maksimum atau minimum dinamakan penyelesaian optimum.

Nilai optimum (nilai maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f(x, y) = ax + by dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik yang meliputi metode uji titik pojok dan garis selidik.

Mari kita lihat soal tersebut.
Soal no. 1 :
Seorang atlet diwajibkan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit Vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit Vitamin A dan 1 unit Vitamin B. Dalam satu hari, atlet itu memerlukan 20 unit Vitamin A dan 5 unit Vitamin B. Harga tablet 1 adalah Rp 1.500,00 dan tablet 2 adalah Rp 2.000,00. Tentukan model matematikanya!

Jawab :
Persoalan di atas bisa kita buat model matematikanya.
Pertama, kita buat tabelnya.

                      Vitamin A         Vitamin B         Harga
___________________________________________
Tablet 1          5                       3                      Rp1.500,00
Tablet 2         10                      1                       Rp2.000,00
___________________________________________
Total              20                      5

Misalkan tablet 1 sebanyak x buah dan tablet 2 sebanyak y buah, maka model matematika dari persoalan di atas adalah
5x + 10y ≤ 20 ⇔ x + 2y ≤ 4
3x + y ≤ 5,
x ≥ 0,
y ≥ 0.
Fungsi optimumnya adalah f(x, y) = 1.500x + 2.000y.

Kemudian, dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi, kita cari titik potong dari garis-garis
x + 2y = 4 |.1|
3x + y = 5 |.2|

Kita eliminasi y, sehingga

x + 2y = 4
6x + 2y = 10
__________-
⇔ -5x = -6
⇔ x = 
Kita substitusikan x =  ke persamaan 
3x + y = 5
⇔ 3. + y = 5
⇔  + y = 5
⇔ y = 5 - 
⇔ y = 
⇔ y = 

Berdasarkan gambar pada lampiran, kita peroleh titik-titik yang kita subtitusikan ke fungsi optimum f(x, y) = 1.500x + 2.000y, diperoleh
(0, 2) → f(x, y) = 1.500(0) + 2.000(2) = 4.000
(, 0) → f(x, y) = 1.500() + 2.000(0) = 2.500
(, ) → f(x, y) = 1.500() + 2.000() = 5.400 + 2.800 = 8.200

Jadi, nilai minimumnya adalah 2.500 pada titik (, 0) dan nilai maksimumnya adalah 8.200 pada titik (, ).

Semangat!